Question

19．在豎直平面建立如圖所示的坐標(biāo)系，y軸豎直方向向上，x軸沿水平方向向右，由A點(diǎn)斜射出一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，B和C是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)，如圖所示，其中l(wèi)₀為常數(shù)．已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力的影響．求：
（1）質(zhì)點(diǎn)從A到C過程所經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)學(xué)知識求出拋物線方程，再得到最高點(diǎn)的坐標(biāo)，從最高點(diǎn)到C做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求時(shí)間．
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出最高點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒求出質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速率．

解答 解：（1）設(shè)拋物線方程為 y=ax²+c
當(dāng)y=0時(shí)x=l₀，代入上式得：0=al₀²+c ①
當(dāng)x=2l₀時(shí)y=-3l₀，代入上式得：-3l₀=4al₀²+c  ②
由①②解得 a=-$\frac{1}{{l}_{0}}$，c=l₀．
故y=-$\frac{1}{{l}_{0}}$x²+l₀
當(dāng)x=0時(shí)，y=l₀
所以最高點(diǎn)離x軸的高度為 h=l₀
從最高點(diǎn)到C做平拋運(yùn)動(dòng)，則從最高點(diǎn)到B點(diǎn)有 h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，t₁=$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
從最高點(diǎn)到C點(diǎn)有 4l₀=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$，得 t₂=2$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
故質(zhì)點(diǎn)從A到C過程所經(jīng)歷的時(shí)間 t=t₁+t₂=3$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)通過最高點(diǎn)的速率為v．則 v=$\frac{{l}_{0}}{{t}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}g{l}_{0}}$
從最高點(diǎn)到C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得
  mg•4l₀=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 v_C=$\sqrt{\frac{17}{2}g{l}_{0}}$
答：
（1）質(zhì)點(diǎn)從A到C過程所經(jīng)歷的時(shí)間是3$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$．
（2）質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速率是$\sqrt{\frac{17}{2}g{l}_{0}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要掌握關(guān)于y軸對稱的拋物線的方程一般式y(tǒng)=ax²+c，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識得到拋物線方程，再由運(yùn)動(dòng)的分解法研究拋體運(yùn)動(dòng)．