Question

13．如圖所示，光滑水平面上靜止著一輛長(zhǎng)度L=5m、質(zhì)量M=1kg的平板車，車的左端放有一個(gè)質(zhì)量m=1.95kg的小物塊，在車子右側(cè)足夠遠(yuǎn)處有一固定的豎直的光滑半圓軌道，軌道半徑R=0.1m，軌道的底部與水平面相切且與車子上表面等高．現(xiàn)有一質(zhì)量m₀=0.05kg的子彈以一定的向右的水平速度在極短的時(shí)間內(nèi)射入小物塊且留在其中，經(jīng)過一段時(shí)間，物塊運(yùn)動(dòng)到距平板車右端x=2m處時(shí)和車達(dá)到共速；隨后，車子與豎直軌道相撞并粘在了軌道上．已知小物塊沖上半圓軌道后到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為60N，g=10m/s²．
（1）求小物塊剛剛沖上半圓軌道時(shí)，對(duì)軌道底部的壓力大��；
（2）求小物塊與車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）求子彈打入小物塊的短暫過程中，小物塊對(duì)子彈的沖量．

Answer 1

分析 （1）先由牛頓第二定律求出小物塊在最高點(diǎn)的速度，然后由機(jī)械能守恒求出小物塊剛剛沖上半圓軌道時(shí)的速度，最后由牛頓第二定律求出小物塊剛剛沖上半圓軌道時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）小物塊在平板車上運(yùn)動(dòng)的過程中，車與小物塊、子彈組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，由此求出它們的共同速度；結(jié)合功能關(guān)系求出損失的機(jī)械能的表達(dá)式；車子與豎直軌道相撞并粘在了軌道上后，小物塊在平板車上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出損失的動(dòng)能的表達(dá)式；聯(lián)立即可求出動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）由上一步的公式求出子彈進(jìn)入小物塊后二者的速度，由動(dòng)量守恒定律求出子彈的初速度，然后由動(dòng)量定理即可求出子彈打入小物塊的短暫過程中，小物塊對(duì)子彈的沖量．

解答 解：（1）小物塊與子彈組成的系統(tǒng)在最高點(diǎn)受到的重力與軌道的壓力提供向心力，小物塊在半圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₄，由牛頓第二定律得：
$F+（m+{m}_{0}）g=（m+{m}_{0}）•\frac{{v}_{4}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得小物塊在最高點(diǎn)的速度：v₄=2m/s，
設(shè)小物塊剛剛沖上半圓軌道時(shí)的速度為v₃，小物塊與子彈組成的系統(tǒng)沿半圓軌道向上運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，則：
$\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{3}^{2}$=$（m+{m}_{0}）g•2R+\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{3}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得小物塊剛剛沖上半圓軌道時(shí)的速度：${v}_{3}=2\sqrt{2}$m/s
小物塊剛剛沖上半圓軌道時(shí)對(duì)軌道的壓力：${F}_{N}=（m+{m}_{0}）g+（m+{m}_{0}）•\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：F_N=180N
（2）子彈進(jìn)入小物塊后，與小物塊一起在平板車上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在平板車上運(yùn)動(dòng)的過程中，車與小物塊、子彈組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，設(shè)子彈的初速度為v₀，子彈進(jìn)入小物塊后的共同速度為v₁，三者達(dá)到速度相等時(shí)的速度為v₂，
小物塊（與子彈一起）在平板車上運(yùn)動(dòng)的過程中，它們組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，選取向右為正方向，則：
（m+m₀）v₁=（m+m₀+M）v₂
代入數(shù)據(jù)可得：${v}_{2}=\frac{2}{3}{v}_{1}$   ①
由功能關(guān)系可得：$-μ（m+{m}_{0}）g（L-2）=\frac{1}{2}（m+{m}_{0}+M）{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{1}^{2}$  ②
聯(lián)立①②，代入數(shù)據(jù)可得：$60μ=\frac{1}{3}{v}_{1}^{2}=\frac{3}{4}{v}_{2}^{2}$③
車子與豎直軌道相撞并粘在了軌道上后，小物塊在平板車上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理公式得：
$-μ（m+{m}_{0}）g•x=\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{0}）{v}_{2}^{2}$  ④
將④式代入數(shù)據(jù)可得：$40μ={v}_{2}^{2}-{v}_{3}^{2}$   ⑤
聯(lián)立③⑤可得：v₁=6m/s，v₂=4m/s，μ=0.2
（3）子彈進(jìn)入小物塊后二者的速度相等，該過程中二者組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律得：
m₀v₀=（m+m₀）v₁
所以子彈的初速度：v₀=240m/s，
對(duì)子彈由動(dòng)量定理得：I=m₀v₁-m₀v₀=0.05×（6-240）=-11.7kg•m/s．負(fù)號(hào)表示方向向左．
答：（1）小物塊剛剛沖上半圓軌道時(shí)，對(duì)軌道底部的壓力大小是180N；
（2）小物塊與車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.2；
（3）子彈打入小物塊的短暫過程中，小物塊對(duì)子彈的沖量大小是11.7kg•m/s，方向向左．

點(diǎn)評(píng) 該題考查動(dòng)量守恒定律以及功能關(guān)系的綜合應(yīng)用，由于涉及的過程比較多，要求同學(xué)們能根據(jù)解題需要選擇不同的運(yùn)動(dòng)過程運(yùn)用動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理解題，同時(shí)要注意選取正方向．