Question

14．月球半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{96}$，地球表面的重力加速度取10m/s²，第一宇宙速度為7.9km/s，則：
（1）月球表面的重力加速度大約是多少m/s²；
（2）在月球上要發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，則最小發(fā)射率速度為多少m/s；
（3）美國的“阿波羅Ⅱ號”宇宙飛船登月成功時，宇航員借助一計時表測出近月飛船繞月球一周時間T，則可得到月球的平均密度的表達式為？（用字母表示）

Answer 1

分析 先根據(jù)重力提供向心力推導(dǎo)出星球表面重力加速度的表達式，可求出月球表面重力加速度與地球表面重力加速度的比值，從而求出月球表面重力加速度；
研究飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運動，重力提供向心力列出等式求解．
先推導(dǎo)出月球質(zhì)量的表達式，密度等于質(zhì)量除以體積即可求解．

解答 解：
（1）由萬有引力公式$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，得g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
   則：$\frac{{g}_{月}}{g}$=$\frac{{M}_{月}{{R}_{地}}^{2}}{{M}_{地}{{R}_{月}}^{2}}$=$\frac{1}{96}×16=6$
   所以${g}_{月}=\frac{1}{6}g=1.7m/{s}^{2}$
（2）由mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{gR}$
   $\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{R}_{月}{g}_{月}}{{R}_{地}g}}=\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{6}}=\frac{1}{5}$
   解得：v_月=1.6km/s
（3）由$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}R$
   則M=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
   可得 $ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$
答：（1）月球表面的重力加速度大約是1.7m/s²
（2）在月球上要發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，則最小發(fā)射率速度是1.6km/s．
（3）美國的“阿波羅Ⅱ號”宇宙飛船登月成功時，宇航員借助一計時表測出近月飛船繞月球一周時間T，可得到月球的平均密度，平均密度的表達式為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

點評 利用比值求解物理量是一種比較簡潔的方法，求物理量之比，我們應(yīng)該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再根據(jù)表達式進行比較．