Question

7．如圖示，質(zhì)量為m₁的小球A用不可伸長的輕質(zhì)細繩懸掛，從偏離豎直方向θ角位置靜止釋放，在最低點與靜止小球B發(fā)生對心彈性碰撞，B球位于四分之一圓弧CD的圓心O處的光滑小支架上，圓弧半徑與細繩長度均為R，OC邊水平，B球質(zhì)量為m₂，A、B小球可視為質(zhì)點，求
（1）A球擺到最低點與B球發(fā)生碰撞前繩子的拉力大小F；
（2）碰后B球的速度大小v_B；
（3）小球B到達圓弧面的最小動能E_K．

Answer 1

分析 （1）先由機械能守恒定律求出A球與B球碰撞前瞬間的速度．A球在最低點時，由合力充當向心力，由牛頓第二定律求繩子的拉力F．
（2）A球與B球發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律結合求碰后B球的速度大小v_B；
（3）碰后小球B平拋至圓弧，由分運動的規(guī)律和幾何關系，求小球B到達圓弧面的最小速率，從而得到最小動能E_K．

解答 解：（1）小球A下降過程，由機械能守恒得：
  m₁gR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
A球在最低點時，由牛頓第二定律有：
   F-m₁g=m₁$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得  F=m₁g（3-2cosθ）                                    
（2）AB發(fā)生彈性碰撞，取水平向右為正方向，由動量守恒定律得：
  m₁v₁=m₁v_A+m₂v_B．
由機械能守恒得：$\frac{1}{2}$m₁v₁²=$\frac{1}{2}$m₁v_A²+$\frac{1}{2}$m₂v_B²．
解得  v_B=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₁=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{2gR（1-cosθ）}$
（3）碰后小球平拋至圓弧時，設豎直位移為y，水平位移為x．
則 x²+y²=R²
水平方向勻速運動，有 x=v_Bt
豎直方向自由落體，有 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立解得 ${v}_{B}^{2}$=$\frac{g（{R}^{2}-{y}^{2}）}{2y}$
又由平拋過程機械能守恒有：m₂gy=E_k-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$
解得 E_k=m₂g（$\frac{{R}^{2}}{4y}$+$\frac{3y}{4}$）
由數(shù)學知識可知當 $\frac{{R}^{2}}{4y}$=$\frac{3y}{4}$時，即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R時動能具有最小值，最小值為 E_kmin=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m₂gR
答：
（1）A球擺到最低點與B球發(fā)生碰撞前繩子的拉力大小F是m₁g（3-2cosθ）；
（2）碰后B球的速度大小v_B是$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{2gR（1-cosθ）}$；
（3）小球B到達圓弧面的最小動能E_K是$\frac{\sqrt{3}}{2}$m₂gR．

點評 分析清楚運動過程是正確解題的基礎，要抓住每個過程的物理規(guī)律，運用物理規(guī)律得到動能的表達式，再由數(shù)學知識求最小動能，這是常用的函數(shù)法，要學會運用．