Question

5．如圖，xOy平面內(nèi)，y軸右側(cè)邊長(zhǎng)為2R的正方形區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E，以O(shè)₁〔R，0〕為圓心，R為半徑的圓內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，現(xiàn)從O點(diǎn)沿x軸正方向，不斷向電磁場(chǎng)區(qū)域射入速度相同的正粒子，粒子恰好能做勻速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)撤去電場(chǎng)，粒子離開磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，速度與x軸正方向的夾角θ=60°（圖中未畫出）．不計(jì)粒子所受重力及粒子間相互作用力．MN是過圓心O₁且平行于y軸的直線．求：（結(jié)果均用根式表示，sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°=$\frac{1}{2}$）
（1）粒子的荷比$\frac{q}{m}$；
（2）當(dāng)撤去電場(chǎng)，粒子在正方形區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）當(dāng)撤去MN右側(cè)的磁場(chǎng)且保留圓內(nèi)電場(chǎng)（即圓周與正方形所夾空間無電、磁場(chǎng)），粒子從某點(diǎn)P（圖中未畫出）離開正方形區(qū)域，求P點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力和電場(chǎng)力平衡；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力牛頓第二定律與幾何關(guān)系結(jié)合，兩個(gè)過程聯(lián)立即可；
（2）過程一：在磁場(chǎng)中做勻速勻速圓周運(yùn)動(dòng)；過程二：出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，分別求這兩個(gè)過程的時(shí)間，加和即可；
（3）帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，針對(duì)分運(yùn)動(dòng)運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，再與圓的軌跡方程聯(lián)立即可求交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，
粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡條件得：qvB=Eq
由洛倫茲力提供向心力得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$                
根據(jù)幾何關(guān)系得：tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{R}{r}$
聯(lián)立以上各式得：$\frac{q}{m}$=$\frac{\sqrt{3}E}{3{RB}^{2}}$
（2）撤去電場(chǎng)后，粒子在正方形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖
在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過的圓弧長(zhǎng)度為：l₁=rθ
離開磁場(chǎng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為：l₂=$\frac{R}{cos（90°-θ）}$-R
設(shè)粒子在正方形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則l₁+l₂=vt
聯(lián)立以上各式得：t=$\frac{（\sqrt{3}π+2\sqrt{3}-3）RB}{3E}$
（3）當(dāng)撤去圓心O₁右側(cè)的磁場(chǎng)時(shí)，粒子從0₁點(diǎn)開始做類平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖，
設(shè)軌跡與圓0₁ （R，0）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
由帶電粒子在垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：x-R=vt
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{Eq}{2m}$t²
得軌跡方程為：y=$\frac{\sqrt{3}（x-R）^{2}}{6R}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)可得，圓0₁的方程為：（x-R）²+y²=R²
將軌跡方程和圓的方程聯(lián)立得：y=（2-$\sqrt{3}$）R
答：（1）粒子的荷比$\frac{q}{m}$為$\frac{\sqrt{3}E}{3{RB}^{2}}$；
      （2）當(dāng)撤去電場(chǎng)，粒子在正方形區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{（\sqrt{3}π+2\sqrt{3}-3）RB}{3E}$；
      （3）當(dāng)撤去MN右側(cè)的磁場(chǎng)且保留圓內(nèi)電場(chǎng)（即圓周與正方形所夾空間無電、磁場(chǎng)），粒子從某點(diǎn)P（圖中未畫出）離開正方形區(qū)域，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（2-$\sqrt{3}$）R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（速度選擇器模型）、帶電粒子在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)、帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，本題難點(diǎn)主要集中在數(shù)學(xué)問題上，平面幾何和解析幾何的運(yùn)用．