Question

20．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)，有平行于y軸向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第四象限內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在y軸上A、B兩點(diǎn)各有一個(gè)粒子源，A、B兩點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離和x軸上一點(diǎn)C到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離相等，兩粒子源沿x軸正向同時(shí)發(fā)射出速度大小分別為v₁、v₂的兩個(gè)粒子，粒子的質(zhì)量、電量大小相等，電性相同，不計(jì)粒子的重力，兩粒子都從C點(diǎn)第一次穿過(guò)x軸．
（1）若兩粒子恰好在C點(diǎn)相碰，則電場(chǎng)強(qiáng)度大小E與磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B之比可能是多少？
（2）若x軸上C點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)D，CD=a，從A粒子源發(fā)出的粒子從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后能直接到達(dá)D點(diǎn)，粒子的質(zhì)量為m，電量大小為q，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小為多少？
（3）若從B點(diǎn)射出的粒子也能到達(dá)D點(diǎn)，粒子的質(zhì)量為m，電量大小為q，則CD間的距離CD=a，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，分別由運(yùn)動(dòng)的合成與分解和洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得EB之比；
（2）粒子由電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，由幾何關(guān)系可得出粒子在磁場(chǎng)中的半徑，再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（3）要使B點(diǎn)的粒子也能到達(dá)D點(diǎn)，應(yīng)先從C進(jìn)入電場(chǎng)后再反向進(jìn)入磁場(chǎng)到達(dá)D點(diǎn)，故粒子的軌跡一定為半圓；則可得出對(duì)應(yīng)的半徑關(guān)系，則由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的關(guān)系．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向有：l=v₁t
豎直方向有：l=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{Eq}{m}$t²
聯(lián)立解得：E=$\frac{2m{v}_{1}^{2}}{q{L}^{\;}}$；
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恰好到達(dá)C點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知：R=l
由洛侖茲力充當(dāng)向心力可知：Bqv₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{m{v}_{2}}{ql}$
故電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值為：$\frac{E}{B}$=2$\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}}$
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)水平位移和豎直位移相等，則有：
l=v₀t
l=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
則有：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=2；
進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為：v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+（2{v}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{5}$v₁
即進(jìn)入磁場(chǎng)的夾角的正切值為2；由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為：r=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a
由洛侖茲力充當(dāng)向心力可得：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{4m{v}_{1}}{aq}$；
（3）要使從B點(diǎn)入射的粒子也能到達(dá)C點(diǎn)，則粒子從C點(diǎn)豎直上升后進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中做勻減速運(yùn)動(dòng)，然后再返回到C點(diǎn)，然后做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)D點(diǎn)，
由對(duì)稱性可知，粒子到達(dá)D點(diǎn)時(shí)應(yīng)滿足CD間的距離是圓周運(yùn)動(dòng)直徑的整數(shù)倍；即a=2nR；
則由洛侖茲力充當(dāng)向心力可知：Bqv₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{m{v}_{2}^{\;}}{qR}$=$\frac{2nm{v}_{2}}{qa}$（n=1，2，3…）
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E與磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B之比可能為2$\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}}$；
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小為為$\frac{4m{v}_{1}}{aq}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件：B=$\frac{2nm{v}_{2}}{qa}$（n=1，2，3…）

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意在電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，注意找出圓的幾何性質(zhì)．