Question

12．如圖，足夠長平行金屬導(dǎo)軌內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，金屬桿ab與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌右端通過電阻與平行金屬板AB連接．已知導(dǎo)軌相距為L；磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；R₁、R₂和ab桿的電阻值均為r，其余電阻不計；板間距為d、板長為4d；重力加速度為g，不計空氣阻力．如果ab桿以某一速度向左勻速運(yùn)動時，沿兩板中心線水平射入質(zhì)量為m、帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出；如果ab桿以同樣大小的速度向右勻速運(yùn)動時，該微粒將射到B板距左端為d的C處．　 

（1）求ab桿勻速運(yùn)動的速度大小v；
（2）求微粒水平射入兩板時的速度大小v₀；
（3）如果以v₀沿中心線射入的上述微粒能夠從兩板間射出，試討論ab桿向左勻速運(yùn)動的速度范圍．

Answer 1

分析 （1）ab桿以某一速度向左勻速運(yùn)動時，沿兩板中心線水平射入質(zhì)量為m、帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出，此時電場力與重力平衡，可得電場強(qiáng)度數(shù)值，進(jìn)而求得兩板間電壓，并進(jìn)而求得感應(yīng)電動勢和棒的速度
（2）ab桿以同樣大小的速度向右勻速運(yùn)動時，粒子將做類平拋運(yùn)動，由于該微粒將射到B板距左端為d的C處，可求粒子的運(yùn)動初速度
（3）ab桿向左勻速運(yùn)動時，電場力與重力方向相反，粒子做類平拋運(yùn)動，要想使粒子射出電場水平位移應(yīng)為L，同時豎直位移應(yīng)該不小于$\fracazptoht{2}$，棒速度較小則向下偏，較大則向上偏，討論速度的范圍

解答 解：（1）帶電量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出，此時電場力與重力平衡，設(shè)場強(qiáng)為E，則：mg=Eq…①
此時平行板間電壓為：U=Ed…②
導(dǎo)體棒感應(yīng)電動勢為：E_感=BLv
由電路歐姆定律得：U=${\frac{1}{3}}_{\;}$E_感…③
聯(lián)立以上可得：v=$\frac{3mgd}{BLq}$…④
（2）ab桿以同樣大小的速度向右勻速運(yùn)動時，平行板間帶電粒子所受合力方向向下，大小為；
F=Eq+mg=2mg…⑤
粒子做類平拋運(yùn)動，可知加速度為：
a=2g…⑥
打到板的時間為t，則：
$\fraccxnlg4w{2}$=$\frac{1}{2}$at²…⑦
d=v₀t…⑧
聯(lián)立解得：v₀=$\sqrt{2gd}$…⑨
（3）ab桿向左勻速運(yùn)動時，電場力與重力方向相反，棒速度較小則向下偏，較大則向上偏，粒子做類平拋運(yùn)動，若粒子恰好射出電場，在水平位移應(yīng)為L=4d時間內(nèi)，同時豎直位移恰為$\fractk7zflr{2}$，
故粒子運(yùn)動時間：4d=v₀t₁…⑩
若向下偏，最小加速度大小為a₁，則豎直方向位移為：
$\frac{1}{2}$a₁${t}_{1}^{2}$=$\frac4sdybii{2}$…（11）
⑦⑧⑩（11）得：${a}_{1}=\frac{a}{4}=\frac{g}{8}$…（12）
設(shè)此時導(dǎo)體棒速度最小為v_min，應(yīng)有：
a₁=$\frac{mg-\frac{\frac{B{Lv}_{min}}{3}}mjrpdqcq}{m}$=g-$\frac{B{Lv}_{min}q}{3md}$…（13）
解得：v_min=$\frac{21mgd}{8BqL}$，
若導(dǎo)體棒速度最大為v_max，此時粒子向上偏轉(zhuǎn)，應(yīng)有：
a₁=${a}_{1}^{′}$=$\frac{\frac{\frac{B{Lv}_{max}}{3}}faj7gb6q-mg}{m}$=$\frac{B{Lv}_{max}q}{3dm}-g$
解得：v_max=27mg32Bq
ab桿向左勻速運(yùn)動的速度范圍為$\frac{21mgd}{8BqL}$＜v＜$\frac{27mgd}{8BqL}$
答：（1）ab桿勻速運(yùn)動的速度為$\frac{3mgd}{BLq}$
（2）微粒水平射入兩板時的速度$\sqrt{2gd}$
（3）ab桿向左勻速運(yùn)動的速度范圍為$\frac{21mgd}{8BqL}$＜v＜$\frac{27mgd}{8BqL}$

點(diǎn)評 電磁感應(yīng)問題結(jié)合閉合電路歐姆定律，涉及帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的類平拋運(yùn)動，運(yùn)算量較大，有一定難度