Question

8．如圖所示為某制藥廠自動生產流水線上的一部分裝置示意圖，已知傳送帶與水平面的夾角為α，O為漏斗，要使藥品從漏斗出來經光滑槽送到傳送帶上，設滑槽與豎直方向的夾角為θ，則θ為多大時可使藥片滑到傳送帶上的時間最短？

Answer 1

分析 根據牛頓第二定律求出在斜面上運動的加速度大小，根據幾何關系求出斜面的長度，再根據x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得到時間的表達式，由數學知識求解．

解答 解：由正弦定理得，$\frac{s}{sin（90°-α）}$=$\frac{h}{sin[180°-θ-（90°-α）]}$
解得：s=$\frac{hcosα}{cos（θ-α）}$
加速度為 a=$\frac{mgcosθ}{m}$=gcosθ
由s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}$=$\sqrt{\frac{2hcosα}{gcos（θ-α）cosθ}}$
設y=gcos（θ-α）cosθ，則y的導數為 y′=g[-sin（θ-α）cosθ-cos（θ-α）sinθ]=gsin（α-2θ）
當y′=0時，即θ=$\frac{α}{2}$時y有最大，t有最小值．
答：θ為$\frac{α}{2}$時可使藥片滑到傳送帶上的時間最短．

點評 解決本題的關鍵運用牛頓第二定律和運動學公式得到時間表達式，運用數學知識分析和求解．