Question

4．如圖所示為一種電磁裝置，由粒子源、加速電場(chǎng)、偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)組成．在S點(diǎn)有一粒子源，能不斷釋放電量為q，質(zhì)量為m的靜止帶電粒子，被加速電壓為U，極板間距離為d的勻強(qiáng)電場(chǎng)加速后，從正中央垂直射入電壓為U的勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)（偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中電壓正負(fù)極隨時(shí)間做周期性變化），偏轉(zhuǎn)極板長(zhǎng)度和極板距離均為L(zhǎng)，帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中一次偏轉(zhuǎn)后即進(jìn)入一個(gè)垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．若不計(jì)重力影響，欲使帶電粒子通過某路徑返回S點(diǎn)，求：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小．
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度D至少為多少？
（3）該帶電粒子周期性運(yùn)動(dòng)的周期T是多少？偏轉(zhuǎn)電壓正負(fù)極多長(zhǎng)時(shí)間變換一次方向？

Answer 1

分析 （1）對(duì)在加速電場(chǎng)中運(yùn)用動(dòng)能定理，結(jié)合在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)求出偏轉(zhuǎn)位移的大小和偏轉(zhuǎn)角，對(duì)整個(gè)過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求出勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小寬度．
（3）粒子在加速電場(chǎng)中勻加速直線勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和推論以及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式求出帶電粒子的周期T．偏轉(zhuǎn)電壓正負(fù)極變換一次方向的時(shí)間等于粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在加速電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}mv_0^2=Uq$，解得：${v_0}=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$…①
由于粒子在電場(chǎng)加速過程中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則加速的時(shí)間t₁為：t₁=$\fracj7zwtvs{\frac{{v}_{0}}{2}}$=$\frac{2d}{{v}_{0}}$…②
粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，
其加速度a為：$a=\frac{Uq}{Lm}$，
粒子通過偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的時(shí)間t₂為：${t_2}=\frac{L}{v_0}=L\sqrt{\frac{m}{2Uq}}$…③
粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的側(cè)移距離y為：$y=\frac{1}{2}at_2^2=\frac{L}{4}$…④
側(cè)向速度v_y為：${v_y}=a{t_2}=\sqrt{\frac{Uq}{2m}}$
則粒子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度v為：$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=\sqrt{\frac{5Uq}{2m}}$…⑤
（2）以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速度圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：$Bqv=m\frac{v^2}{R}$，解得：$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5Um}{2q}}$…⑥
則磁場(chǎng)寬度為：$D=R+\sqrt{{R^2}-{y^2}}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{5Um}{2q}}+\sqrt{\frac{5Um}{{2{B^2}q}}-\frac{L^2}{16}}$…⑦
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T'為：
$T'=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$，tanθ=$\frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{4}}$=2，則：θ=arctan2，
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₃為：${t_3}=\frac{T'（2π-2θ）}{2π}=\frac{2m（π-arctg2）}{Bq}$…⑧
粒子從S出發(fā)到回到S的周期T為：T=2t₁+2t₂+t₃=4d$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+2L$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$；
偏轉(zhuǎn)電壓正負(fù)極換向時(shí)間t為：t=$\frac{T}{2}$=2d$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+L$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{m（π-arctan2）}{qB}$；
答：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為$\sqrt{\frac{5qU}{2m}}$．
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度D至少為$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{5mU}{2q}}$+$\sqrt{\frac{5mU}{2q{B}^{2}}-\frac{{L}^{2}}{16}}$．
（3）該帶電粒子周期性運(yùn)動(dòng)的周期T是4d$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+2L$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{2m（π-arctan2）}{qB}$；
偏轉(zhuǎn)電壓正負(fù)極經(jīng)2d$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+L$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{m（π-arctan2）}{qB}$變換一次方向．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵作出粒子的軌跡，知道粒子在加速電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．