Question

12．如圖所示，半徑未知的1/4光滑圓弧AB與傾角為30°的斜面在B點(diǎn)連接，B點(diǎn)的切線(xiàn)水平，斜面BC長(zhǎng)為L(zhǎng)，整個(gè)裝置位于同一豎直面內(nèi)．現(xiàn)讓一個(gè)質(zhì)量為m的小球從圓弧的端點(diǎn)A由靜止釋放，小球通過(guò)B點(diǎn)后恰好落在斜面底端C點(diǎn)處．不計(jì)空氣阻力．
（1）求圓弧的軌道半徑；
（2）若在圓弧最低點(diǎn)B處放置一塊質(zhì)量為m的膠泥后，小球仍從A點(diǎn)由靜止釋放，粘合后整體落在斜面上的某點(diǎn)D．若將膠泥換成2m重復(fù)上面的過(guò)程，求前后兩次粘合體在斜面上的落點(diǎn)到斜面頂端的距離之比．

Answer 1

分析 （1）對(duì)A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒求得在B的速度，然后再根據(jù)B到C做平拋運(yùn)動(dòng)，由位移公式聯(lián)立即可求得半徑；
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒求得在B處的速度，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到在斜面上的落點(diǎn)到斜面頂端的距離與在B處速度的關(guān)系，即可求得比值．

解答 解：（1）設(shè)圓弧半徑為R，小球從A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則有$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$；
小球從B到C做平拋運(yùn)動(dòng)，故有：
$Lsin30°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
$Lcos30°={v}_{B}t=\sqrt{2gR}•\sqrt{\frac{L}{g}}=\sqrt{2RL}$
解得：$R=\frac{3}{8}L$；
（2）小球碰前速度為：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
碰撞后，粘合在一起，故由動(dòng)量守恒可得：與質(zhì)量為m的膠泥碰后在B處的質(zhì)量為2m，速度為$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
與質(zhì)量為2m的膠泥碰后在B處的質(zhì)量為3m，速度為$\frac{\sqrt{2gR}}{3}$；
物體從B水平拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)落在BC上，設(shè)初速度為v，質(zhì)量為M，那么由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=vt且$\frac{h}{x}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$解得：$h=\frac{2{v}^{2}}{3g}$；
所以，在斜面上的落點(diǎn)到斜面頂端的距離為：$\frac{h}{sin30°}=2h=\frac{4{v}^{2}}{3g}$；
那么，前后兩次粘合體在斜面上的落點(diǎn)到斜面頂端的距離之比為$\frac{（\frac{\sqrt{2gR}}{2}）^{2}}{（\frac{\sqrt{2gR}}{3}）^{2}}=\frac{9}{4}$；
答：（1）圓弧的軌道半徑為$\frac{3}{8}L$；
（2）若在圓弧最低點(diǎn)B處放置一塊質(zhì)量為m的膠泥后，小球仍從A點(diǎn)由靜止釋放，粘合后整體落在斜面上的某點(diǎn)D．若將膠泥換成2m重復(fù)上面的過(guò)程，那么前后兩次粘合體在斜面上的落點(diǎn)到斜面頂端的距離之比為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．