Question

6．如圖（1），在勻強(qiáng)磁場中有兩根傾斜、長S=40m的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距L=1m，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角θ=30⁰，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.3T，垂直導(dǎo)軌平面斜向上．在一個平行于導(dǎo)軌的變力F作用下（F從零開始增加），一根質(zhì)量m=0.1kg的導(dǎo)體棒從導(dǎo)軌的頂端由靜止開始沿導(dǎo)軌勻加速下滑，下滑20m后撤去變力F，導(dǎo)體棒一直下滑至導(dǎo)軌底端．導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直，與導(dǎo)軌的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，接在兩導(dǎo)軌頂端的電阻R=3Ω，其他部分電阻均不計，重力加速度g為10m/s²．求：

（1）導(dǎo)體棒下滑20m時的速度大��；
（2）導(dǎo)體棒下滑20m內(nèi)流過電阻R的電量；
（3）在圖（2）中畫出導(dǎo)體棒下滑20m內(nèi)外力F隨位移S變化的圖象（在坐標(biāo)軸上標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)），并求出導(dǎo)體棒下滑20m時外力F的瞬時功率；
（4）撤去外力F后導(dǎo)體棒沿軌道下滑，能否最終達(dá)到勻速？請通過合理的計算、推導(dǎo)等給出理由和結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒由靜止開始沿導(dǎo)軌勻加速下滑，加速度不變，由初始狀態(tài)，求出加速度，再由運(yùn)動學(xué)規(guī)律求出速度．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求出電流的平均值，再由電流平均值乘以時間得到電量．
（3）根據(jù)安培力公式得到安培力的表達(dá)式，由于外力與安培力相等，得到外力表達(dá)式，即可作圖．
（4）根據(jù)撤去外力后導(dǎo)體棒能通過的位移與導(dǎo)軌剩下的距離20m比較，作出判斷．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒的初速度v₀=0，安培力 F_安=0，外力F=0，由牛頓第二定律得
 mgsinθ-μmgcosθ=ma
則得加速度為 a=gsinθ-μgcosθ=$\frac{0．{3}^{2}×{1}^{2}×1{0}^{2}}{3}$=2.5m/s²；
故導(dǎo)體棒下滑20m時的速度大小 v=$\sqrt{2a{s}_{1}}$=$\sqrt{2×2.5×20}$=10m/s；
（2）導(dǎo)體棒下滑20m內(nèi)流過電阻R的電量
  q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{R}$△t=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BL{s}_{1}}{R}$=$\frac{0.3×1×20}{3}$C=2C
（3）根據(jù)牛頓第二定律可知 外力F=F_安=B$\frac{BLv}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2as}}{R}$=$\frac{0．{3}^{2}×{1}^{2}×\sqrt{2×2.5×s}}{3}$=$\frac{3\sqrt{5s}}{100}$ N
作出外力F隨位移S變化的圖象如圖．
導(dǎo)體棒下滑20m時外力F的瞬時功率 P=Fv=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$=3W
（4）不能．因為：
剛撤力F時，mgsinθ-μmgcosθ-B$\frac{BLv}{R}$L=ma′，a′=-0.5m/s²，導(dǎo)體棒做加速度不斷減小的減速下滑；
若達(dá)到勻速：mgsinθ-μmgcosθ-B$\frac{BL{v}_{勻}}{R}$L=0，得v_勻=$\frac{25}{3}$m/s；
若以-0.5m/s²加速度一直勻減速下滑，用時$\frac{10}{3}$s達(dá)到$\frac{25}{3}$m/s，v-t圖象圍成的“面積”為$\frac{275}{9}$m，大于導(dǎo)軌剩下的距離20m（實際下滑過程加速度絕對值逐漸減小，位移大于$\frac{275}{9}$m），所以不能達(dá)到勻速．
答：
（1）導(dǎo)體棒下滑20m時的速度大小為10m/s；
（2）導(dǎo)體棒下滑20m內(nèi)流過電阻R的電量是2C；
（3）作出外力F隨位移S變化的圖象如圖．導(dǎo)體棒下滑20m時外力F的瞬時功率為3W．
（4）撤去外力F后導(dǎo)體棒沿軌道下滑，最終不能達(dá)到勻速．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)中的綜合題，關(guān)鍵要正確分析導(dǎo)體棒的情況，綜合運(yùn)用電磁學(xué)知識和力學(xué)知識進(jìn)行解答．對于電磁感應(yīng)中電量問題，也可用I-t圖象圍成的面積求．