Question

19．如圖所示，寬度為L的粗糙平行金屬導軌PQ和P′Q′傾斜放置，頂端QQ′之間連接一個阻值為R的電阻和開關(guān)S，底端PP′處與一小段水平軌道用光滑圓弧相連．已知底端PP′離地面的高度為h，傾斜導軌處于垂直于導軌平面的勻強磁場（圖中未畫出）中．若斷開開關(guān)S，將一根質(zhì)量為m、電阻為r、長也為L的金屬棒從AA′處靜止開始滑下，金屬棒落地點離PP′的水平距離為x₁；若閉合開關(guān)S，將金屬棒仍從AA′處靜止開始滑下，則金屬棒落地點離PP′的水平距離為x₂．不計導軌電阻，忽略金屬棒經(jīng)過PP′處的能量損失，已知重力加速度為g，求：
（1）開關(guān)斷開時，金屬棒離開底端PP′的速度大��；
（2）開關(guān)閉合時，金屬棒在下滑過程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）開關(guān)S仍閉合，金屬棒從比AA′更高處靜止開始滑下，水平射程仍為x₂，請定性說明金屬棒在傾斜軌道的運動規(guī)律．

Answer 1

分析 （1）金屬棒離開底端PP′后，做平拋運動，已知水平距離和高度，根據(jù)平拋運動的知識，可以求出棒開底端PP′的速度大小；
（2）開關(guān)閉合后，金屬棒下滑時，需要克服安培力做功產(chǎn)生焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求解；
（3）根據(jù)平拋的水平距離相等，說明金屬棒離開PP′時的速度相等，金屬棒在傾斜導軌上應先做加速度減小的加速運動，然后勻速運動．

解答 解：（1）開關(guān)斷開時，金屬棒離開底端PP′的速度大小為v₁，在空中運動的時間為t，則：
  x₁=v₁t
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得：v₁=x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）開關(guān)斷開時，在金屬棒沿傾斜導軌下滑的過程中，重力做功為W_G，摩擦力做功為W_F．
根據(jù)動能定理：W_G+W_F=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$          
開關(guān)閉合時，金屬棒離開底端PP′的速度：v₂=x₂$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
在金屬棒沿傾斜導軌下滑的過程中，重力做功和摩擦力做功與開關(guān)斷開時相同，安培力做功為W_安，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱為Q，
由動能定理可得：W_G+W_F+W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
又因為Q=|W_安|
金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱 Q_r=$\frac{r}{R+r}$Q
聯(lián)立上述方程可得：Q_r=$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}（{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}）$．
（3）據(jù)題，開關(guān)S仍閉合，金屬棒從比AA′更高處靜止開始滑下，水平射程仍為x₂，說明金屬棒離開PP′時的速度相等，則知金屬棒在傾斜導軌上先做加速度減小的加速運動，然后勻速運動．
答：
（1）開關(guān)斷開時，金屬棒離開底端PP′的速度大小為x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）開關(guān)閉合時，金屬棒在下滑過程中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}（{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}）$；
（3）金屬棒在傾斜導軌上先做加速度減小的加速運動，然后勻速運動．

點評 本題首先要掌握平拋運動的研究方法，其次能運用能量守恒定律求解熱量，都是常用的思路，平時要多加強這方面的練習，熟練掌握．