Question

8．當平行板電容器的兩極板間是真空時，電容C與極板的正對面積S、極板間距離d的關系為C=$\frac{S}{4πkd}$．對給定的平行板電容器充電，當該電容器極板所帶電荷量Q變化時，兩極板間的電勢差U也隨之變化．
（1）在圖所示的坐標系中畫出電容器帶電量Q與極板間電勢差U的關系圖象．
（2）電容器儲存的電能等于電源搬運電荷從一個極板到另一個極板過程中，克服電場力所做的功．在彈簧彈力F與形變量x關系圖象中，圖象與x軸圍成的面積代表彈簧彈性勢能的大�。�與之類比，推導電容器儲存的電能表達式E=$\frac{1}{2}$CU²．
（3）若保持平行板電容器帶電量Q、極板正對面積S不變，兩極板間為真空，將板間距離由d₁增大到d₂，需要克服電場力做多少功？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電容的定義式C=$\frac{Q}{U}$得到Q與U的關系式，再畫出Q-U圖象．
（2）Q-U圖象與橫坐標軸圍成的面積為對電容器充電過程中，電容器儲存的電能，由數(shù)學知識推導．
（3）根據(jù)電容的決定式、電容的定義式得到電容器儲存的電能表達式，再由功能關系求解．

解答 解：（1）對于給定的電容器電容C一定，根據(jù)電容的定義式C=$\frac{Q}{U}$得Q=CU，則Q-U圖象如圖所示．
（2）該圖象的斜率為電容器電容C，圖象與橫坐標軸圍成的面積為對電容器充電過程中，電容器儲存的電能．故
  E=$\frac{1}{2}$QU
由Q=CU得：E=$\frac{1}{2}$CU²．
（3）板間距離為d時，平行板電容器的電容為 C=$\frac{S}{4πkd}$
當電容器帶電量為Q時，兩板間電壓 U=$\frac{Q}{C}$
得電容器儲存的電能為 E=$\frac{1}{2}$CU²=$\frac{2πkd{Q}^{2}}{S}$
當板間距離由d₁增大到d₂時，電容器儲存的電能增加量為
△E=E₂-E₁=$\frac{2πk{Q}^{2}}{S}$（d₂-d₁）
故需要克服電場力做功 W=△E=$\frac{2πk{Q}^{2}}{S}$（d₂-d₁）
答：
（1）如圖所示．
（2）推導過程見上．
（3）將板間距離由d₁增大到d₂，需要克服電場力做功為$\frac{2πk{Q}^{2}}{S}$（d₂-d₁）．

點評 解決本題的基礎是掌握電容的定義式C=$\frac{Q}{U}$和電容的定義式C=$\frac{S}{4πkd}$．關鍵是要理解Q-U圖象與橫坐標軸圍成的面積表示電容器充電過程中電容器儲存的電能．