Question

13．如圖所示，在光滑的水平地面上有一質(zhì)量為M的小車，小車的AB段是光滑的$\frac{1}{4}$圓弧，BC段是粗糙的水平面，C點右側(cè)是光滑平面，固定于右側(cè)擋板的輕彈簧自由伸長時，恰好在C點，一可視為質(zhì)點的滑塊，從圓弧高處A由靜止下滑，與彈簧相接觸并壓縮彈簧，滑塊最高能滑到距B點的$\frac{R}{2}$高度的圓弧上，已知滑塊的質(zhì)量為m，BC段的長度為l，重力加速度為g，求：
（1）BC段的動摩擦因數(shù)μ的大��；
（2）彈簧具有的最大彈性勢能的大��；
（3）當(dāng)滑塊與彈簧剛分離時滑塊和小車的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)系統(tǒng)動量守恒知，最終滑塊和小車是保持相對靜止，速度為零，根據(jù)能量守恒求出BC段的動摩擦因數(shù)的大�。�
（2）當(dāng)彈簧壓縮最大時，滑塊和小車的速度為零，根據(jù)能量守恒求出彈簧的彈性勢能．
（3）根據(jù)能量守恒和動量守恒定律求出當(dāng)滑塊和彈簧剛分離時滑塊和小車的速度大小．

解答 解：（1）滑塊與小車初狀態(tài)是靜止的，末狀態(tài)也相對于小車靜止，兩者共同速度也為零，
根據(jù)能量守恒定律得，$mg（R-\frac{R}{2}）=μmg•2l$，
解得$μ=\frac{R}{4l}$．
（2）彈簧壓縮到最大形變量時，滑塊和小車的速度為零，根據(jù)能量守恒定律得，
彈簧的彈性勢能${E}_{p}=mgR-μmgl=\frac{3}{4}mgR$．
（3）彈簧與滑塊分離時，設(shè)滑塊的速度為v₁，小車的速度為v₂，根據(jù)能量守恒定律得，${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}$，
又因為系統(tǒng)動量守恒，規(guī)定向右為正方向，有：mv₁-Mv₂=0，
聯(lián)立解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{3MRg}{2（M+m）}}$，${v}_{2}=\frac{m}{M}\sqrt{\frac{3MRg}{2（M+m）}}$．
答：（1）BC段的動摩擦因數(shù)μ的大小為$\frac{R}{4l}$；
（2）彈簧具有的最大彈性勢能的大小為$\frac{3}{4}mgR$；
（3）當(dāng)滑塊與彈簧剛分離時滑塊和小車的速度大小分別為$\sqrt{\frac{3MRg}{2（M+m）}}$、$\frac{m}{M}\sqrt{\frac{3MRg}{2（m+M）}}$．

點評 本題考查了動量守恒定律、能量守恒的綜合運(yùn)用，知道系統(tǒng)初狀態(tài)的總動量為零，則兩者保持相對靜止時，速度為零，結(jié)合動量守恒和能量進(jìn)行求解．