Question

18．在光滑水平面上固定一個(gè)內(nèi)壁光滑的豎直圓筒S（右圖為俯視圖），圓筒半徑為R=1m．一根長r=0.5m的絕緣細(xì)線一端固定于圓筒圓心O點(diǎn)，另一端系住一個(gè)質(zhì)量為m=0.2kg、帶電量為q=+5×10^-5C的小球．空間有一場強(qiáng)為E=4×10⁴N/C的勻強(qiáng)電場，電場方向與水平面平行．將細(xì)線拉至與電場線平行，給小球大小為10m/s、方向垂直于電場線的初速度v₀．
（1）求當(dāng)小球轉(zhuǎn)過90°時(shí)的速度大��；
（2）若當(dāng)小球轉(zhuǎn)過90°時(shí)，細(xì)線突然斷裂，小球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，碰到圓筒后不反彈，碰撞后，小球垂直于碰撞切面方向的速度因能量損失減小為零，平行于碰撞切面方向的速度大小保持不變．之后小球沿圓筒內(nèi)壁繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)．求這一運(yùn)動(dòng)過程中的速度的最小值．
（3）從初始位置開始，要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中，細(xì)線始終保持不松弛，電場強(qiáng)度E的大小所需滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)細(xì)線轉(zhuǎn)過90度的過程中，只有電場力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求出細(xì)線斷裂時(shí)小球的速度大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球與內(nèi)壁碰撞時(shí)的速度，再將該速度沿半徑方向和垂直于半徑方向分解，得出沿圓筒做圓周運(yùn)動(dòng)的初速度，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圖示的最低點(diǎn)時(shí)，速度最小，根據(jù)動(dòng)能定理求出沿圓筒內(nèi)壁繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)中的最小速度值．
（3）為保證小球接下來的運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)線都不松弛，1、轉(zhuǎn)動(dòng)90度的過程中速度減為零，2、轉(zhuǎn)動(dòng)到最低點(diǎn)有臨界最小速度．結(jié)合動(dòng)能定理求出電場強(qiáng)度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)小球轉(zhuǎn)過90°時(shí)速度大小為v₁，由動(dòng)能定理：$-qEr=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得${v_1}=\sqrt{v_0^2-\frac{2qEr}{m}}=3\sqrt{10}$m/s    
（2）設(shè)小球碰到圓筒前瞬間速度大小為v₂，由動(dòng)能定理
$-qERcos30°=\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得${v_2}=\sqrt{90-10\sqrt{3}}$m/s       
撞上筒壁后，設(shè)小球碰到圓筒后瞬間沿圓筒內(nèi)壁做圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₃，${v_3}={v_2}sin30°=\frac{1}{2}{v_2}$
小球沿圓筒內(nèi)壁再轉(zhuǎn)過30°時(shí)速度最小，設(shè)大小為v₄，由動(dòng)能定理
$-qER（1-cos30°）=\frac{1}{2}{mv}_{4}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{3}^{2}$
解得${v_4}=\sqrt{\frac{{5+15\sqrt{3}}}{2}}$m/s=3.94m/s   
（3）情況一：小球從圖示位置開始運(yùn)動(dòng)后，速度逐漸減小．若小球能在轉(zhuǎn)過90°之前速度減小為零，則反向運(yùn)動(dòng)，且細(xì)線始終保持不松弛．設(shè)電場強(qiáng)度大小為E₁時(shí)，小球轉(zhuǎn)過90°的瞬時(shí)速度恰為零，$-{E}_{1}qr=0-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
 解得：${E_1}=\frac{mv_0^2}{2qr}=4×{10^5}$N/C 
則此過程中，E≥4×10⁵ 
情況二：若小球從圖示位置轉(zhuǎn)過90°后，未到達(dá)180°時(shí)，開始反向運(yùn)動(dòng)，則細(xì)線會(huì)松弛．因此需保證小球能轉(zhuǎn)過180°．設(shè)電場強(qiáng)度大小為E₂時(shí)，小球轉(zhuǎn)過180°瞬時(shí)的速度為v_min，則  $\frac{{mv_{min}^2}}{r}={E_2}q$   
-qE₂•2r=$\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
兩式聯(lián)立，得到${E_2}=\frac{mv_0^2}{5qr}=1.6×{10^5}$N/C    
所以當(dāng)E≤1.6×10⁵N/C或E≥4×10⁵N/C時(shí)，能使細(xì)線始終保持不松弛．
答：（1）細(xì)線斷裂時(shí)小球的速度大小為$3\sqrt{10}m/s$．
（2）小球碰到圓筒內(nèi)壁后不反彈，沿圓筒內(nèi)壁繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)中的最小速度值為3.94m/s．
（3）為保證小球接下來的運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)線都不松弛，電場強(qiáng)度E的大小范圍E≤1.6×10⁵N/C或E≥4×10⁵N/C．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)是第三問，確定臨界情況，找到等效的最高點(diǎn)．