Question

3．如圖所示，一光滑的定滑輪兩邊用輕繩吊著A、B兩物塊，A、B的質(zhì)量分別為m_A、m_B，m_A=1.5m_B，將A固定，B放在地面上，繩子剛好拉直，在它們的右側(cè)一個(gè)斜面體上，一物塊C剛好與A在同一高度，由靜止同時(shí)釋放A、C，結(jié)果B到最高點(diǎn)時(shí)，C剛好到達(dá)地面，已知開(kāi)始時(shí)A離地面的高度為h，物塊B上升過(guò)程中沒(méi)有與天花板相碰，斜面傾斜角θ=30°．設(shè)A與地面碰撞后不反彈，求：
（1）物塊B上升的最大高度；
（2）物塊C與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)．

Answer 1

分析 （1）A與B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，由此得出A到達(dá)地面時(shí)AB的速度，然后B上升的過(guò)程中由機(jī)械能守恒即可求出高度；
（2）對(duì)AB組成的系統(tǒng)分析，由牛頓第二定律求出加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式得出時(shí)間；對(duì)C進(jìn)行分析，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式得出加速度，仍然會(huì)進(jìn)行受力分析，得出動(dòng)摩擦因數(shù)．

解答 解：（1）A下降的過(guò)程中B上升，該過(guò)程中機(jī)械能守恒，得：${m}_{A}gh-{m}_{B}gh=\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：$v=\sqrt{0.4gh}$
此后B繼續(xù)上升，機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}^{2}={m}_{B}gh′$
所以：$h′=\frac{{v}^{2}}{2g}=0.2h$
B上升的最大高度是：H=h+h′=1.2h
（2）A與B在一起運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)繩子的拉力為F，則A與B的加速度 的大小是相等的，所以：
m_Ag-F=m_Aa
F-m_Bg=m_Ba
將m_A=1.5m_B代入，整理得：a=0.2g
B上升的第一段過(guò)程中的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{\sqrt{0.4gh}}{0.2g}=\sqrt{\frac{10h}{g}}$
B做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{v}{g}=\frac{\sqrt{0.4gh}}{g}=0.2\sqrt{\frac{10h}{g}}$
B上升的總時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}=1.2\sqrt{\frac{10h}{g}}$
B到最高點(diǎn)時(shí)，C剛好到達(dá)地面，二者運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等；設(shè)C下滑的加速度為：a′，
則：$\frac{1}{2}a′{t}^{2}=\frac{h}{sinθ}$
整理得：$a′=\frac{4h}{{t}^{2}}=\frac{4h}{1.44×\frac{10h}{g}}=\frac{5}{18}g$
沿斜面的方向C受到重力與摩擦力的作用，由牛頓第二定律得：m_Ca′=m_Csinθ-μm_Ccosθ
所以：$μ=\frac{gsinθ-a′}{gcosθ}=\frac{0.5g-\frac{5}{18}g}{\frac{\sqrt{3}}{2}g}=0.257$
答：（1）物塊B上升的最大高度是1.2h；
（2）物塊C與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.257．

點(diǎn)評(píng) 該題是牛頓第二定律的綜合應(yīng)用與機(jī)械能守恒相結(jié)合的題目，由于“B到最高點(diǎn)時(shí)，C剛好到達(dá)地面”，所以正確求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是解題的關(guān)鍵．