Question

2．2016年12月23日日據《科技日報》今日報道，使用傳統(tǒng)火箭的時候，從地球出發(fā)前往火星的單程“旅行”大約是6到7個月，相比傳統(tǒng)引擎，如果電磁驅動引擎能夠成功投入實際運動，人類可以在10個星期內抵達火星．中國已經開發(fā)了低軌道太空測試設備，目前安裝在了天宮二號上進行測試，處于領先地位．若能將飛行器P送到火星附近使其繞火星做勻速圓周運動．如圖所示，火星相對飛行器的張角為θ，火星半徑為R，飛行器繞火星做勻速圓周運動的軌跡半徑為r，若想求得火星的質量，下列條件滿足的是（　�。�

• A． 若測得飛行器周期和火星半徑R，可得到火星的質量
• B． 若測得飛行器周期和軌道半徑r，可得到火星的質量
• C． 若測得飛行器周期和張角θ，可得到火星的質量
• D． 以上條件都不能單獨得到火星的質量

Answer 1

分析 根據幾何知識求出飛行器的半徑，由開普勒第三定律分析其周期與軌道半徑的關系．由地球的萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律求解地球的質量M

解答 解：設星球的質量為M，半徑為R，平均密度為ρ．飛行器的質量為m，軌道半徑為r，周期為T．
對于飛行器，根據萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$
所以：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以若測得飛行器周期和軌道半徑r，可得到火星的質量．
又由幾何關系得：R=rsin$\frac{θ}{2}$
所以：M=$\frac{4{π}^{2}（Rsin\frac{θ}{2}）^{3}}{G{T}^{2}}$．若測得飛行器周期、火星半徑R和張角θ，可得到火星的質量．
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3π•si{n}^{3}\frac{θ}{2}}{G{T}^{2}}$，知測得周期和張角，可得到星球的平均密度．故B正確，ACD錯誤；
故選：B

點評 本題關鍵掌握萬有引力定律和萬有引力等于向心力這一基本思路，結合幾何知識進行解題．