Question

13．如圖所示，一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的小球，其質(zhì)量為m，在豎直平面內(nèi)半徑為R的光滑圓軌道上做逆時(shí)針方向的圓周運(yùn)動(dòng)，已知小球恰好能通過最高點(diǎn)A，重力加速度為g．求：
（1）小球在A點(diǎn)的速度大�。�
（2）小球在最低點(diǎn)B點(diǎn)的速度大�。�
（3）現(xiàn)由于某種干擾使小球由A點(diǎn)從軌道左側(cè)到達(dá)最低點(diǎn)B的過程中損失了部分能量，之后小球從B點(diǎn)沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)離開軌道，已知C點(diǎn)與圓心的連線與水平方向夾角為30°．因?yàn)楦蓴_而損失的能量為多少．

Answer 1

分析 （1）抓住小球恰好通過最高點(diǎn)A，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在A點(diǎn)的速度大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球在最低點(diǎn)B的速度．
（3）抓住小球在C點(diǎn)離開，結(jié)合徑向的合力提供向心力求出C點(diǎn)的速度，根據(jù)能量守恒求出干擾而損失的能量．

解答 解：（1）小球恰好到達(dá)A點(diǎn)，則對A點(diǎn)的壓力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg=$m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{A}=\sqrt{gR}$．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得：$mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
（3）因?yàn)樾∏蛟贑點(diǎn)離開軌道，可知小球?qū)�C點(diǎn)的壓力為零，根據(jù)$mgsin30°=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$得：${v}_{C}=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，
根據(jù)能量守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+△E=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mg•\frac{1}{2}R$，
解得：$△E=\frac{3}{4}mgR$．
答：（1）小球在A點(diǎn)的速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）小球在最低點(diǎn)B點(diǎn)的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（3）因?yàn)楦蓴_而損失的能量為$\frac{3}{4}mgR$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，抓住臨界情況，結(jié)合動(dòng)能定理和牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度中等．