Question

14．圖甲為一研究電磁感應(yīng)的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖，其中電流感應(yīng)器（相當(dāng)于一只理想的電流表）能將各時(shí)刻的電流數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)通過數(shù)據(jù)采集器傳輸給計(jì)算機(jī)，經(jīng)計(jì)算機(jī)處理后在屏幕上同步顯示出I-t圖象，足夠長光滑金屬軌道電阻不計(jì)，寬度為L=0.2m，傾角為θ=30°，軌道上端連接的定值電阻的阻值為R=0.9Ω，金屬桿MN的電阻為r=0.1Ω，質(zhì)量為m=1kg．在軌道區(qū)域加一垂直于軌道平面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.5T的勻強(qiáng)磁場，讓金屬桿在軌道平面向下、大小隨時(shí)間變化的拉力F作用下由靜止開始下滑，計(jì)算機(jī)顯示出如圖乙所示的I-t圖象（I₀=0.2A，t₀=1s）．設(shè)桿在整個運(yùn)動過程中與軌道垂直．
（1）試推導(dǎo)出金屬桿的速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（2）試推導(dǎo)出拉力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（3）金屬桿從靜止開始下滑2s時(shí)間，在定值電阻所產(chǎn)生的焦耳熱為Q=90J，則拉力做的功W為多少？

Answer 1

分析 （1）由圖乙得電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化關(guān)系，根據(jù)E=BLv、閉合電路的歐姆定律聯(lián)立求解；
（2）根據(jù)v=at得到加速度大小，由牛頓第二定律求解拉力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系式；
（3）求出金屬桿從靜止開始下滑的位移，根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系求解速度，根據(jù)焦耳定律求解產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)動能定理求解所以整個過程中克服安培力做的功．

解答 解：（1）由圖乙得：I=$\frac{{I}_{0}}{{t}_{0}}t=\frac{0.2}{1}t=0.2t$，
由導(dǎo)體棒切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢計(jì)算公式可得：E=BLv，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{E}{R+r}=\frac{BLv}{R+r}$，
解得：v=2t （m/s）；
（2）由上知棒做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小為 a=2m/s²，
安培力大�。篎_安=BIL=0.02t，
取沿斜面向下為正，由牛頓第二定律得：F+mgsinθ-F_安=ma
可得拉力F=0.02t-3 （N）；
（3）金屬桿從靜止開始下滑t=2s時(shí)間內(nèi)通過的位移為 x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=4m$，
2s時(shí)刻的速度 v=a•t=4m/s，
根據(jù)串聯(lián)電路的規(guī)律知棒產(chǎn)生的熱量$\frac{r}{R}Q=\frac{0.1}{0.9}×90J=10J$，
所以整個過程中克服安培力做的功為W_A=90J+10J=100J；
根據(jù)動能定理得：mgsinθ•x+W-W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0，
解得W=$\frac{1}{2}×1×{4}^{2}J+100J-10×\frac{1}{2}×4J=140J$．
答：（1）金屬桿的速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為v=2t （m/s）；
（2）拉力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為F=0.02t-3 （N）；
（3）金屬桿從靜止開始下滑2s時(shí)間，在定值電阻所產(chǎn)生的焦耳熱為Q=90J，則拉力做的功W為140J．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．