Question

11．如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放半徑可調(diào)的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，其長(zhǎng)度為l=1.0m；水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)．小物塊A靜止放置在彈簧右端，A與彈簧接觸但不拴接；調(diào)節(jié)圓槽形軌道半徑R，讓小物塊B從軌道右側(cè)以初速度v₀=6m/s沖上軌道，通過(guò)圓形軌道和水平軌道后與物塊A發(fā)生對(duì)心碰撞且瞬間粘連，之后AB沿水平軌道返回圓形軌道，物塊AB均可視為質(zhì)點(diǎn)且質(zhì)量均為m=1kg，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計(jì)．取g=10m/s²，求：
（1）物塊B與物塊A碰撞前的速度大�。�
（2）物塊B與物塊A碰后返回到Q點(diǎn)時(shí)速度大�。�
（3）調(diào)節(jié)R，B仍以v₀從軌道右側(cè)沖上軌道，當(dāng)R滿足什么條件時(shí)，AB物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)越過(guò)最高點(diǎn)而不會(huì)脫離軌道？

Answer 1

分析 （1）對(duì)B應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出與A碰撞前的速度．
（2）A、B碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出碰撞后的速度，然后應(yīng)用動(dòng)能定理求出AB到達(dá)Q的速度．
（3）由牛頓第二定律求出AB到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的臨界速度，然后由動(dòng)能定理求出圓軌道的半徑．

解答 解：（1）B從開始到與A碰撞前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，
由動(dòng)能定理得：-μmgl=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=4$\sqrt{2}$m/s；
（2）A、B碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向左為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：mv_B=（m+m）v_AB，
代入數(shù)據(jù)解得：v_AB=2$\sqrt{2}$m/s，
從AB碰撞后到到達(dá)Q點(diǎn)過(guò)程中，
由動(dòng)能定理得：-μ•2mgl=$\frac{1}{2}$•2mv_Q²-$\frac{1}{2}$•2mv_AB²，
代入數(shù)據(jù)解得：v_Q=2m/s；
（3）AB恰好到達(dá)圓形軌道最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力，
由牛頓第二定律得：2mg=2m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gR}$，
從Q到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
-2mg•2R=$\frac{1}{2}$•2mv_最高²-$\frac{1}{2}$•2mv_Q²，
解得：v_最高=$\sqrt{{v}_{Q}^{2}-4gR}$，
AB能不脫離軌道，則：v_最高≥v，
即：$\sqrt{{v}_{Q}^{2}-4gR}$≥$\sqrt{gR}$，解得：R≤0.08m；
答：（1）物塊B與物塊A碰撞前的速度大小為4$\sqrt{2}$m/s；
（2）物塊B與物塊A碰后返回到Q點(diǎn)時(shí)速度大小2m/s；
（3）當(dāng)R滿足條件：R≤0.08m時(shí)，AB物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理與動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與動(dòng)能定理即可正確解題，解題時(shí)注意物體做圓周運(yùn)動(dòng)臨界條件的應(yīng)用．