Question

19．如圖所示，豎直平面內有足夠長、不計電阻的兩組平行光滑金屬導軌，寬度均為L=0.5m，上方連接一個阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區(qū)域內存在垂直紙面向里的磁感應強度B=2T的勻強磁場．完全相同的兩根金屬桿M和N靠在導軌上，金屬桿的長度與導軌等寬且與導軌接觸良好，兩金屬桿的電阻均為r=0.5Ω．將金屬桿M固定在磁場的上邊緣（仍在此磁場內），金屬桿N從磁場邊界上方h₀=0.8m處由靜止釋放，進入磁場后恰好做勻速運動，g取10m/s²．求：
（1）金屬桿的質量m；
（2）若金屬桿N從磁場邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，進入磁場下落一段距離后做勻速運動．在金屬桿N加速的過程中整個回路產生了1.4J的電熱，此過程中流過電阻R的電荷量q；
（3）若金屬桿N仍然從磁場邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿N進入磁場的同時釋放金屬桿M，金屬桿M和金屬桿N在以后的運動過程中，各自的最大速度v₁和 v₂分別是多大．

Answer 1

分析 （1）金屬桿2進入磁場前做自由落體運動，由運動學公式求出進入磁場時的速度v，進入磁場后做勻速運動，重力與安培力平衡，E=BLv，I=$\frac{E}{R+2r}$、F=BIL，及平衡條件可求得m．
（2）金屬桿2進入磁場經過一段時間后開始勻速運動，速度大小仍等于v．根據(jù)能量守恒求出h₂，由$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$，$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{2r+R}$，q=$\overline{I}{t}_{2}$求出電量q．
（3）釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運動，合力等于零時速度最大．根據(jù)平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，任何時刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時間內速度的增同，根據(jù)速度增量相同，得到速度的關系，聯(lián)立求解兩桿的最大速度．

解答 解：（1）金屬桿N進入磁場前做自由落體運動，進入磁場的速度${v}_{m}=\sqrt{2g{h}_{0}}$
金屬桿N進入磁場后切割磁感線，回路中產生感應電流，有
感應電動勢E=BLv_m，感應電流  $I=\frac{E}{R+2r}$
金屬桿恰做勻速運動，受安培力和重力平衡：mg=BIL
解出m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{（2r+R）g}$=$\frac{{2}^{2}×0．{5}^{2}×4}{（2×0.5+1）×10}$=0.2kg     
（2）金屬桿N自由下落h₁，進入磁場，做加速運動，設金屬桿N在磁場內下降h₂后達到勻速運動，在加速的過程中，部分機械能轉化為電能產生電熱，有
mg（h₁+h₂）=$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$+Q
可得         h₂=$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mg}$-h₁=1.3m
金屬桿N進入磁場到勻速運動的過程中$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$=$\frac{BL{h}_{2}}{△t}$，$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+2r}$
解出流過電阻的電量　　q=$\overline{I}{t}_{2}$=$\frac{BL{h}_{2}}{2r+R}$=$\frac{2×0.5×1.3}{2×0.5+1}$C=0.65C      　 
（3）金屬桿N剛進入磁場時的速度v=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=$\sqrt{2×10×0.2}$m/s=2m/s
金屬桿N進入磁場同時釋放金屬桿M后，回路中有感應電流，兩桿都受安培力和重力，且受力情況相同，都向下做加速運動，隨速度增大，感應電流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等時，速度達到最大．
金屬桿M和N產生的感應電動勢為E₁=BLv₁，E₂=BLv₂
感應電流為 $I=\frac{{E}_{1}+{E}_{2}}{2r+R}$
達到最大速度時桿的重力等于安培力
mg=BIL
整理得到：v₁+v₂=$\frac{mg（2r+R）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)得v₁+v₂=4 m/s…①
因為兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，因此任何時刻兩者的加速度也都相同，在相同時間內速度的增量也必相同，即：v₁-0=v₂-v
代入數(shù)據(jù)得v₂=v₁+2…②
①②兩式聯(lián)立求出：v₁=1m/s，v₂=3m/s            
答：（1）金屬桿2的質量m為0.2kg．
（2）流過電阻R的電量q為0.65C．
（3）兩根金屬桿各自的最大速度分別是1m/s和3m/s．

點評 本題是電磁感應與力學知識的綜合，第3問關鍵是抓住兩桿的加速度相同，任何時刻速度的增量相同這一隱含的條件分析兩桿的速度關系．