Question

10．如圖所示，坐標(biāo)系xOy的第二象限內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，x軸下方一半徑為R、與x軸相切于O點(diǎn)的圓區(qū)域內(nèi)，有方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒子，從P（-2$\sqrt{3}$L，L）點(diǎn)以速度v₀平行于x軸射出，從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子重力．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）粒子第一次射出磁場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)；
（3）粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)到第一次離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子從P到O是類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式分析即可；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解第一次射出磁場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先結(jié)合幾何關(guān)系確定圓心角，根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}T$求解時(shí)間．

解答 解：（1）粒子從P到O是類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式，有：
x=2$\sqrt{3}$L=v₀t  ①
y=L=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$  ②
解得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qL}$
（2）粒子從P到O是類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分速度公式，有：
v_x=v₀   ③
${v}_{y}=\frac{qE}{m}t$  ④
合速度：
v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$  ⑤
速度偏轉(zhuǎn)角的正切值：
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$   ⑥
聯(lián)立①③④⑤⑥解得：
v=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
α=30°
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為：
r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m（\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}）}{q（\frac{2m{v}_{0}}{qR}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$
畫出在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：

設(shè)第一次射出磁場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)為（-x，-y）；
圖中三角形OO′O₁中，∠OO₁O′=∠OO′O₁=30°
三角形OO′O₁與三角形AO′O₁是全等的，故：
A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-Rcos30°，-R+Rsin30°），即（-$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，-$\frac{R}{2}$）；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心角為240°，故時(shí)間：
t=$\frac{2}{3}T=\frac{2}{3}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πm}{3q×\frac{2m{v}_{0}}{qR}}$=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$；
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qL}$；
（2）粒子第一次射出磁場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，-$\frac{R}{2}$）；
（3）粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)到第一次離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子先做類似平拋運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類似平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式求解末速度大小和方向；在磁場(chǎng)中關(guān)鍵是畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系分，不難．