Question

3．根據(jù)牛頓的設(shè)想，只要平拋物體的速度足夠大，物體就可以沿地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)而不落下來(lái)；已知地球的半徑為R，引力常量為G，一個(gè)人在地面上做了測(cè)人反應(yīng)速度的實(shí)驗(yàn)，刻度尺下落h高度他在反應(yīng)時(shí)間△t內(nèi)抓住了刻度尺，不考慮地球自轉(zhuǎn)影響，試由上述信息求：
（1）牛頓的平拋速度大��；
（2）地球質(zhì)量表達(dá)式；
（3）地球的密度表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的公式求出地球表面的重力加速度，求出地球的第一宇宙速度即牛頓設(shè)想的平拋速度
（2）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力求地球質(zhì)量
（3）根據(jù)密度公式求地球的密度

解答 解：（1）刻度尺自由下落的高度與時(shí)間的關(guān)系為：
$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
得：$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
根據(jù)題意，牛頓設(shè)想的平拋速度即第一宇宙速度，有：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}$
（2）地球表面物體重力等于萬(wàn)有引力，有：
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（3）地球的體積為：
$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
地球的密度為：
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$
答：（1）牛頓設(shè)想的平拋速度大小$\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}$
（2）地球質(zhì)量表達(dá)式$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（3）地球的密度表達(dá)式$\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握天體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)關(guān)系：萬(wàn)有引力提供向心力；星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力．并能根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．