Question

10．如圖，一端帶有$\frac{1}{4}$圓弧的滑板靜止在光滑水平地面上，滑板質(zhì)量M=4kg，其中AB段表面粗糙，BC段圓弧表面光滑，圓弧半徑足夠大．可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊P₁和P₂的質(zhì)量均為m=1.0kg，與AB面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.2和μ₂=0.4．開始時(shí)滑塊P₁和P₂靜止排列在滑板左端，其間有一小間隙．在滑板左端正上方的固定點(diǎn)O處，用長l=0.8m的輕繩懸掛一質(zhì)量也為m=1.0kg的小球P，靜止時(shí)繩處于豎直位置，小球與滑塊相切且位于同一水平面上．現(xiàn)將小球P拉至圖中水平虛線位置靜止釋放，擺至最低點(diǎn)后與P₁碰撞，隨即P₁與P₂發(fā)生碰撞，各次碰撞均為彈性正碰，且時(shí)間極短．假設(shè)滑塊與滑板間的滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力，取g=10m/s²．求：
（1）小球P擺至最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩的拉力大��；
（2）P₂在滑板AB段上向右運(yùn)動(dòng)時(shí)P₁受到摩擦力大��；
（3）AB的長度至少為多少才能保證P₂與P₁不能發(fā)生第二次碰撞．

Answer 1

分析 （1）小球P由靜止釋放至最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，由此求出小球P擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度，由牛頓第二定律求細(xì)繩的拉力大�。�
（2）P與P₁及P₁與P₂發(fā)生彈性碰撞，三個(gè)物體質(zhì)量相等，所以碰撞后交換速度．假設(shè)P₁與滑板相對靜止一起加速，由牛頓第二定律求出兩者的加速度，并求出P₁所受的摩擦力，與最大靜摩擦力比較，再確定P₂在滑板AB段上向右運(yùn)動(dòng)時(shí)P₁受到摩擦力大��；
（3）假設(shè)P₁與P₂恰能發(fā)生第二次碰撞，P₁與P₂及AB的速度相同，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求解AB的最小長度．

解答 解：（1）設(shè)小球P擺至最低點(diǎn)時(shí)速度為v，繩的拉力為T，
由機(jī)械能守恒定律有 mgl=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得 v=4m/s
由牛頓第二定律得 T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，解得：T=30N；
（2）因?yàn)镻與P₁及P₁與P₂的碰撞均為質(zhì)量相等的彈性正碰，碰后將發(fā)生速度交換，
所以碰后P₂獲得速度v=4m/s
假設(shè)P₁與滑板相對靜止一起加速，則加速度 a=$\frac{{μ}_{2}mg}{m+M}$
可得 a=0.8m/s²．
此時(shí)P₁所受靜摩擦力 f=ma=0.8N
又因?yàn)镻₁與滑板之間的最大靜摩擦力 f_m=μ₁mg=0.2××1×10N=2N
因?yàn)?f＜f_m，所以假設(shè)成立，
即P₁受到的摩擦力 f=0.8N；
（3）假設(shè)P₁與P₂恰能發(fā)生第二次碰撞，此時(shí)滑板長最小為L，
取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得：
  mv=（2m+M）v′
  μ₂mg•2L=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（2m+M）v{′}^{2}$
聯(lián)立解得：L=$\frac{5}{6}$m．
答：
（1）小球P擺至最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩的拉力大小是30N；
（2）P₂在滑板AB段上向右運(yùn)動(dòng)時(shí)P₁受到摩擦力大小是0.8N；
（3）AB的長度至少為$\frac{5}{6}$m才能保證P₂與P₁不能發(fā)生第二次碰撞．

點(diǎn)評 本題要求學(xué)生能正確分析過程，并能靈活應(yīng)用功能關(guān)系；合理地選擇研究對象及過程．