Question

4．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy，在第Ⅳ象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場，方向沿y軸負(fù)方向；在第Ⅰ象限的正三角形abc區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，方向垂直于xoy平面向外，正三角形邊長為L，且ab邊與y軸平行．一質(zhì)量為m、電荷量為q的負(fù)粒子，從y軸上的P（0，-h）點(diǎn)，以大小為v0的速度沿x軸正方向射入電場，通過電場后從x軸上的a（2h，0）點(diǎn)進(jìn)入第Ⅰ象限，又經(jīng)過磁場從y軸上的某點(diǎn)進(jìn)入第Ⅱ象限，且速度與y軸正方向成45°角，不計(jì)粒子所受的重力．求：
（1）電場強(qiáng)度E的大��；
（2）粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（3）abc區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移和豎直位移均已知，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法可求出場強(qiáng)大小E．
（2）由速度的合成法求出粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度大小和方向，由幾何知識確定粒子經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)的方向．
（3）三角形區(qū)域內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外，當(dāng)粒子剛好與bc邊相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，作出軌跡，由幾何知識求出最大半徑，由牛頓第二定律即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．

解答 解：粒子在第Ⅳ象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)在第Ⅳ象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則
水平方向有：2h=v₀t₁ …①
豎直方向有：h=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}_{1}^{2}$   …②
聯(lián)立①②式得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$…③
（2）設(shè)粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)時(shí)豎直方向的速度v_y
則有：v_y=at₁=qEmt₁…④．
聯(lián)立①③④得：v_y=v₀
所以粒子到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度大小為：${v_a}=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}=\sqrt{{v_0}^2+{v_0}^2}=\sqrt{2}{v_0}$…⑤
與x軸的夾角為θ，由幾何關(guān)系得：$tanθ=\frac{v_y}{v_x}=\frac{v_0}{v_0}=1$
所以θ=45°；
（3）經(jīng)分析，當(dāng)粒子從b點(diǎn)出磁場時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最��；
由幾何關(guān)系得：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L…⑥
由洛倫茲力提供向心力得：Bqv=$\frac{m{v}^{2}}{r}$…⑦
聯(lián)立⑤⑥⑦得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，
即磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$．
答：（1）電場強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）v=$\sqrt{2}$v₀，與x軸正方向成45°角斜向右上方；
（3）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值為$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$．

點(diǎn)評 該題考查了有邊界電磁場的問題，在電場中的偏轉(zhuǎn)，利用平拋運(yùn)動(dòng)的知識求解；粒子在有邊界的勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)，利用幾何關(guān)系求解運(yùn)動(dòng)半徑和轉(zhuǎn)過的圓心角是解決問題的關(guān)鍵．