Question

5．質(zhì)量為4kg的長(zhǎng)木板靜止放在光滑的水平面上，可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg的小物塊以4m/s的初速度滑上木塊的左端．已知物塊與木板之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為0.2．
（1）木塊與板共同前進(jìn)的速度；
（2）小物塊在木板上滑行的距離；
（3）若木板的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2m，為了使木塊不從木板上掉下，則v₀不能超過多大．
（4）若木板的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2m，為了使木塊能滑過中點(diǎn)但不掉下，求v₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)木塊和木板分別運(yùn)用牛頓第二定律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求共同速度
（2）分別小物塊和木板的位移，小物塊在木板上滑行的距離即相對(duì)位移
（3）為了使木塊不從木板上掉下，相對(duì)位移最大等于木板長(zhǎng)度；
（4）根據(jù)題意，為了使木塊能滑過中點(diǎn)但不掉下，木塊相對(duì)木板的位移$\frac{L}{2}＜△s≤L$

解答 解：（1）對(duì)木塊，根據(jù)牛頓第二定律有$μmg=m{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=μg=0.2×10=2m/{s}_{\;}^{2}$
對(duì)木板，根據(jù)牛頓第二定律有$μmg=M{a}_{2}^{\;}$
解得${a}_{2}^{\;}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×1×10}{4}=0.5m/{s}_{\;}^{2}$
設(shè)經(jīng)過時(shí)間${t}_{1}^{\;}$，木塊和木板速度相等，則有
${v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}={a}_{2}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)：$4-2{t}_{1}^{\;}=0.5{t}_{1}^{\;}$
解得：${t}_{1}^{\;}=1.6s$
故木塊與木板共同前進(jìn)的速度$v={v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=4-2×1.6=0.8m/s$
（2）小物塊的位移${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}+v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{4+0.8}{2}×1.6=3.84m$
木板的位移${s}_{2}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{0.8}{2}×1.6=0.64m$
小物塊在木板上滑行的距離$△s={s}_{1}^{\;}-{s}_{2}^{\;}=3.84-0.64=3.2m$
（3）經(jīng)過時(shí)間${t}_{2}^{\;}$速度相等，則有
$v={v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}={a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)：${v}_{0}^{\;}-2{t}_{2}^{\;}=0.5{t}_{2}^{\;}$
解得：${t}_{2}^{\;}=\frac{2}{5}{v}_{0}^{\;}$
木塊與木板共同速度$v′=\frac{1}{5}{v}_{0}^{\;}$
木塊的位移${s}_{1}^{′}=\frac{{v}_{0}^{\;}+v′}{2}{t}_{2}^{\;}=\frac{6}{25}{v}_{0}^{2}$
木板的位移${s}_{2}^{′}=\frac{v′}{2}{t}_{2}^{\;}=\frac{1}{25}{v}_{0}^{2}$
木塊相對(duì)木板的位移$△s={s}_{1}^{′}-{s}_{2}^{′}=L$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{6}{25}{v}_{0}^{2}-\frac{1}{25}{v}_{0}^{2}=2$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{10}m/s$
（3）根據(jù)題意木塊滑過中點(diǎn)但不掉下，則有
$\frac{L}{2}＜△s≤L$
代入數(shù)據(jù)：$1＜\frac{1}{5}{v}_{0}^{2}≤2$
解得：$\sqrt{5}m/s＜{v}_{0}^{\;}≤\sqrt{10}m/s$
答：（1）木塊與板共同前進(jìn)的速度0.8m/s；
（2）小物塊在木板上滑行的距離3.2m；
（3）若木板的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2m，為了使木塊不從木板上掉下，則v₀不能超過$\sqrt{10}m/s$．
（4）若木板的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2m，為了使木塊能滑過中點(diǎn)但不掉下，v₀的取值范圍$\sqrt{5}m/s＜{v}_{0}^{\;}≤\sqrt{10}m/s$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清滑塊和木板在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁