Question

10．航天宇航員在月球表面完成了如下實(shí)驗(yàn)：在月球表面固定一豎直光滑圓形軌道，在軌道內(nèi)的最低點(diǎn)放一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，當(dāng)給小球水平初速度v₀時(shí)，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，已知圓形軌道半徑為r，月球的半徑為R．求：
（1）月球表面的重力加速度g
（2）若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星的最小發(fā)射速度v_min．

Answer 1

分析 由于小球恰好經(jīng)過最高點(diǎn)，根據(jù)重力提供向心力，可求出在最高點(diǎn)的速度；小球在軌道內(nèi)部運(yùn)動(dòng)過程中，只有重力做功，由動(dòng)能定理列式可求出月球表面重力加速度g，根據(jù)重力提供向心力，可求出最小發(fā)射速度．

解答 解：設(shè)月球表面重力加速度為g，月球質(zhì)量為M．
球剛好完成圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在最高點(diǎn)有 mg=$m\frac{{v}^{2}}{r}$…①
從最低點(diǎn)至最高點(diǎn)由動(dòng)能定理得-mg•2r=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$…②
由①②可得；g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{5r}$．
在月球表面發(fā)射衛(wèi)星的最小速度為月球第一宇宙速度，重力提供向心力：m′g=m′$\frac{{{v}_{min}}^{2}}{R}$
解得${v}_{min}=\sqrt{gR}$=$\frac{{v}_{0}}{5r}\sqrt{5Rr}$．
答：（1）月球表面的重力加速度為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{5r}$；
（2）在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星的最小發(fā)射速度為$\frac{{v}_{0}}{5r}\sqrt{5Rr}$．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，小球在光滑軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最高點(diǎn)重力提供向心力；衛(wèi)星在月球表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力提供向心力．