Question

5．天文工作者觀測到某行星的半徑為R₁，自轉(zhuǎn)周期為T₁，它有一顆衛(wèi)星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉(zhuǎn)周期為T₂，若萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的質(zhì)量和平均密度；
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆近地人造衛(wèi)星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，且設(shè)行星上無氣體阻力，求該衛(wèi)星相對(duì)于地心的速度是多少？
（3）該行星表面的重力加速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可以列式求出行星的質(zhì)量M，進(jìn)一步求密度．
（2）發(fā)射近地人造衛(wèi)星的速度即為第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力提供向心力計(jì)算即可．
（3）根據(jù)重力等于萬有引力，列式求得行星的地表重力加速度．

解答 解：（1）據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有$G\frac{Mm}{{{R}_{2}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}{R}_{2}$ 
得到 $M=\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
又$M=ρ\frac{4}{3}π{{R}_{1}}^{3}$，
所以行星的密度 $ρ=\frac{3π{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}{{R}_{1}}^{3}}$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{{R}_{1}{{T}_{2}}^{2}}}$=$\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{2}}\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$
（3）在行星的地表，有 $G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=mg$，
得$g=\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{{{R}_{1}}^{2}{{T}_{2}}^{2}}$
答：（1）該行星的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$，平均密度為$\frac{3π{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}{{R}_{1}}^{3}}$；
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆近地人造衛(wèi)星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，且設(shè)行星上無氣體阻力，則該衛(wèi)星相對(duì)于地心的速度是$\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{2}}\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$．
（3）該行星表面的重力加速度為$\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{{{R}_{1}}^{2}{{T}_{2}}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決問題的關(guān)鍵根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，及萬有引力等于重力，理清解題思路，難度不大．