Question

7．某大學(xué)天文學(xué)社招募新社員，需要解決以下問題才能加入，請(qǐng)你嘗試一下．已知土星質(zhì)量為M，半徑為R，土星的衛(wèi)星“土衛(wèi)一”距土星表面高度為H，萬有引力常量為G，質(zhì)量為M、m相距為L的兩物體間引力勢(shì)能公式為E_p=$\frac{-GMm}{L}$．求：
（1）土衛(wèi)一的繞行速度v₁；
 （2）土星的第二宇宙速度v₂，即物體脫離火星引力所需的發(fā)射速度．（提示：物體在只受萬有引力作用下運(yùn)動(dòng)滿足機(jī)械能守恒定律．）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)向心力即可求土衛(wèi)一的繞行速度；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出脫離火星要克服火星引力做功，根據(jù)勢(shì)能表達(dá)式求解火星的發(fā)射速度．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律，結(jié)合引力提供向心力，則有：$\frac{GMm}{{（R+H）}^{2}}$=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{R+H}$
得到：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R+H}}$
（2）發(fā)射的過程符合機(jī)械能守恒定律：
$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{GMm}{R}$=0+0
得到：v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
答：（1）土衛(wèi)一的繞行速度$\sqrt{\frac{GM}{R+H}}$；
 （2）土星的第二宇宙速度v₂，即物體脫離火星引力所需的發(fā)射速度$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要求能夠根據(jù)引力勢(shì)能的表達(dá)式，寫出飛船在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能的表達(dá)式，根據(jù)飛船在橢圓軌道上機(jī)械能守恒，進(jìn)行運(yùn)算．