Question

4．如圖所示，沿水平方向放置一條平直光滑槽，它垂直穿過(guò)開(kāi)有小孔的兩平行薄板，板相距3.5L．槽內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B，球A帶電量為+2q，球B帶電量為-3q，兩球由長(zhǎng)為2L的輕桿相連，組成一帶電系統(tǒng)．最初A和B分別靜止于左板的兩側(cè)，離板的距離均為L(zhǎng)．若視小球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，不計(jì)輕桿的質(zhì)量，在兩板間加上與槽平行且向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E后（設(shè)槽和輕桿由特殊絕緣材料制成，不影響電場(chǎng)的分布），求：
（1）球B剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，帶電系統(tǒng)的加速度大小；
（2）帶電系統(tǒng)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到速度第一次為零，系統(tǒng)向右運(yùn)動(dòng)的位移大�。�
（3）帶電系統(tǒng)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到速度第一次為零所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出B球剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的加速度大�。�
（2）假設(shè)A球剛好到達(dá)右極板，求出電場(chǎng)力對(duì)系統(tǒng)做功的大小，從而確定球A不僅能達(dá)到右極板，還能穿過(guò)小孔，離開(kāi)右極板．對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)能定理，求出帶電系統(tǒng)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到速度第一次為零，系統(tǒng)向右運(yùn)動(dòng)的位移大�。�
（3）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別求出B球從開(kāi)始進(jìn)入電場(chǎng)的時(shí)間，以及系統(tǒng)在電場(chǎng)中做勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和A球離開(kāi)電場(chǎng)后B球在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得出速度第一次為零所需的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)球B進(jìn)入電場(chǎng)后，帶電系統(tǒng)的加速度為a₂，由牛頓第二定律得：
a₂=$\frac{-3qE+2qE}{2m}$=$\frac{-qE}{2m}$．
（2）假設(shè)速度為0時(shí)球A剛能達(dá)到右極板，設(shè)電場(chǎng)力對(duì)系統(tǒng)做功為W₁，有：
W₁=2qE×2.5L+（-3qE×1.5L）＞0
由此可得，球A不僅能達(dá)到右極板，還能穿過(guò)小孔，離開(kāi)右極板．
假設(shè)速度為0時(shí)球B能達(dá)到右極板，設(shè)電場(chǎng)力對(duì)系統(tǒng)做功為W₂，有：
W₂=2qE×2.5L+（-3qE×3.5L）＜0…②
由此可得，球B不能達(dá)到右極板．
綜上所述，帶電系統(tǒng)速度第一次為零時(shí)，球A、B應(yīng)分別在右極板兩側(cè)
設(shè)速度為0時(shí)系統(tǒng)的位移為x，由動(dòng)能定理有：
2qE×2.5L-3qE（x-L）=0
得：$x=\frac{8L}{3}$．
（3）帶電系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)加速度為a₁，由牛頓第二定律：
a₁=$\frac{2qE}{2m}=\frac{qE}{m}$，
設(shè)球B剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，帶電系統(tǒng)的速度為v₁，有：
v²₁=2a₁L
設(shè)球B從靜止到剛進(jìn)入電場(chǎng)的時(shí)間為t₁，則：
t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$．
球B進(jìn)入電場(chǎng)后，帶電系統(tǒng)做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)球A剛達(dá)到右極板時(shí)的速度為v₂，減速所需時(shí)間為t₂，則有：
v²₂-v²₁=2a₂×1.5L
t₂=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{2}}$=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$．
球A離開(kāi)電場(chǎng)后，帶電系統(tǒng)繼續(xù)做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a₃，再由牛頓第二定律：
a₃=$\frac{-3qE}{2m}$，
設(shè)球A從離開(kāi)電場(chǎng)到靜止時(shí)所需時(shí)間為t₃，運(yùn)動(dòng)的位移為x，則有：
t₃=$\frac{0-{v}_{2}}{{a}_{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$．
帶電系統(tǒng)從靜止到速度第一次為零所需的時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{7}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$．
答：（1）球B剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，帶電系統(tǒng)的加速度大小為$\frac{qE}{2m}$；
（2）帶電系統(tǒng)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到速度第一次為零，系統(tǒng)向右運(yùn)動(dòng)的位移大小為$\frac{8L}{3}$．
（3）帶電系統(tǒng)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到速度第一次為零所需的時(shí)間為$\frac{7}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清帶電系統(tǒng)在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律、動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，難度較大．