Question

6．火星繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r₁，是地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑r₂的1.5倍，地球的公轉(zhuǎn)周期T₂=365天，則火星的公轉(zhuǎn)周期T₁是多少天？如果火星與地球的半徑之比為R₁：R₂=1：3，火星與太陽間的引力與地球和太陽間的引力之比F₁：F₂=4：81，求火星與地球的平均密度之比ρ₁：ρ₂為多少？（設(shè)公轉(zhuǎn)軌道看作圓周，只考慮太陽對火星和太陽對地球的作用）

Answer 1

分析 研究火星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式再去進(jìn)行比較周期．根據(jù)萬有引力等于重力表示出重力加速度，再去進(jìn)行比較．

解答 解：1．研究火星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)，根據(jù)萬有引力提供向心力得出：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{（\frac{2π}{T}）}^{2}R$
得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，M為太陽的質(zhì)量，R為軌道半徑．
火星的軌道半徑是地球的軌道半徑的1.5倍，則：${T}_{1}=\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{2}}}•{T}_{2}=\sqrt{1．{5}^{3}}×365=670.5$天
2．根據(jù)萬有引力定律的表達(dá)式：$F=\frac{GMm}{{r}^{2}}$得：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{\frac{{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}}{\frac{{m}_{2}}{{r}_{2}^{2}}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}•\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{1}{2.25}•\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$  ①
又：F₁：F₂=4：81，所以：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{1}{9}$  ②
火星與地球的半徑之比為R₁：R₂=1：3，
由體積公式：$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$，質(zhì)量公式：m=ρV
所以：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{{ρ}_{1}•\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}{{ρ}_{2}•\frac{4}{3}π{R}_{2}^{3}}=\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}•\frac{1}{27}$  ③
聯(lián)立②③得：$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}=\frac{3}{1}$
答：火星的公轉(zhuǎn)周期T₁是670.5天；火星與地球的平均密度之比ρ₁：ρ₂為3：1．

點評 該題結(jié)合對萬有引力的考查，比較地球與火星的一些相關(guān)的數(shù)據(jù)，要比較一個物理量大小，我們應(yīng)該把這個物理量先表示出來，在進(jìn)行比較即可．