Question

8．如圖所示，AB是傾角為θ=53°的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R=$\frac{25}{3}$m．一個(gè)質(zhì)量m=1kg的物體（可以看作質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的某處P點(diǎn)由靜止釋放，沿軌道下滑，它第一次在圓弧軌道上運(yùn)動時(shí)，恰能運(yùn)動到與圓心O等高處的C點(diǎn)．已知物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．求：

（1）第一次通過E點(diǎn)的速度及物體對軌道的壓力大��？
（2）PB的距離？
（3）通過足夠長時(shí)間后，物體在斜面上運(yùn)動的總路程？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）物體剛好到達(dá)C點(diǎn)，從E到C根據(jù)動能定理求的E點(diǎn)速度，根據(jù)牛頓第二定律求的與軌道的作用力；
（2）從P到E由動能定理即可求得斜面的位移
（3）物體最終不會靜止在E點(diǎn)，而是在底部做圓周運(yùn)動，達(dá)到的最高點(diǎn)為B，整個(gè)過程由動能定理即可求得路程

解答 解：（1）物體恰好到達(dá)C點(diǎn)，故C點(diǎn)的速度為0，從E到C根據(jù)動能定理可得：
$-mgR=0-\frac{1}{2}{mv}_{E}^{2}$
解得：${v}_{E}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×\frac{25}{3}}m/s=\frac{10\sqrt{15}}{3}m/s$
由牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{{mv}_{E}^{2}}{R}$
解得：F_N=30N
根據(jù)牛頓第三定律可知對軌道的壓力為30N
（2）從P到E由動能定理可得：-μmgxcosθ+mgxsinθ+mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}{mv}_{E}^{2}-0$
解得：x=10m
（3）最終物體會在元底部做圓周運(yùn)動的一部分，達(dá)到的最高點(diǎn)為B點(diǎn)，且速度為零，整個(gè)過程中由動能定理可得：
mgxsinθ-μmgscosθ=0-0
解得：$s=\frac{80}{3}m$
答：（1）第一次通過E點(diǎn)的速度及物體對軌道的壓力大小為30N
（2）PB的距離為10m
（3）通過足夠長時(shí)間后，物體在斜面上運(yùn)動的總路程為$\frac{80}{3}m$

點(diǎn)評 本題綜合應(yīng)用了動能定理求摩擦力做的功、圓周運(yùn)動及圓周運(yùn)動中能過最高點(diǎn)的條件，對動能定理、圓周運(yùn)動部分的內(nèi)容考查的較全，是圓周運(yùn)動部分的一個(gè)好題