Question

11．如圖所示，是一摩托車特技表演的軌道示意圖．AB是距地面高為H的平臺上的水平加速軌道，其長度為L，CD是半徑為R的$\frac{1}{8}$豎直光滑圓弧軌道，CD軌道在最低點D與水平面相切，D點恰好又是緊接的豎直光滑圓形軌道的入口，該圓形軌道的出口與右側(cè)水平減速軌道EF光滑相接．假設(shè)某總質(zhì)量為m的摩托車（可視為質(zhì)點）由A點從靜止開始沿AB軌道做勻加速直線運動，到達B端時關(guān)閉發(fā)動機后水平飛出，剛好從C點沿切線方向進入圓弧軌道，運動過程中恰能通過圓形軌道的最高點P，最后從E點進入減速軌道直到停止．已知重力加速度為g，不計空氣阻力．試求：

（1）摩托車在AB軌道上的加速度a；
（2）豎直圓形軌道的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動的高度求出平拋運動的豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出平拋運動的初速度，結(jié)合速度位移公式求出勻加速運動的加速度．
（2）根據(jù)機械能守恒定律求出P點的速度，結(jié)合牛頓第二定律，抓住恰好通過P點，求出豎直圓形軌道的半徑．

解答 解：摩托車運動分為三個階段處理：AB段加速，BC段平拋、CDP段光滑曲線運動．設(shè)摩托車在AB軌道上的加速度為a，從B處飛出的速度為υ₀，BC段平拋的豎直位移為h，到達C點的豎直分速度為υ_Cy，水平分速度為υ_Cx，豎直圓形軌道的半徑為r，經(jīng)過最高點P的速度為υ．
（1）對AB軌道上的加速過程有：2aL=υ₀²…①
對BC段的平拋運動過程有：υ_cy²=2gh…②
υ_cx=υ₀…③
由幾何關(guān)系可知，$h=H-（1-cos45°）R=H-（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）R$…④
到達C點時的速度偏向角為45°，所以兩分速度大小相等：υ_Cx=υ_Cy…⑤
聯(lián)立①②③④⑤解得：${υ_0}=\sqrt{2gH-2（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）gR}$…⑥
$a=\frac{{gH-（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）gR}}{L}$…⑦
（2）以水平地面為參考平面，摩托車從B到P的過程機械能守恒，所以$\frac{1}{2}m{υ_0}^2+mgH=2mgr+\frac{1}{2}m{υ^2}$…⑧
在P點由動力學(xué)原理得：$mg=\frac{{m{υ^2}}}{r}$…⑨
聯(lián)立⑥⑧⑩解得：$r=\frac{{4H-（2-\sqrt{2}）R}}{5}$…⑩

答：（1）摩托車在AB軌道上的加速度為$\frac{gH-（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）gR}{L}$；
（2）豎直圓形軌道的半徑為$\frac{4H-（2-\sqrt{2}）R}{5}$．

點評 本題考查了動能定理、機械能守恒與平拋運動和圓周運動的綜合，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律和圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．