Question

4．如圖所示，質量為m=1.0kg的小物塊從一半徑為R=0.5m的四分之一光滑圓弧軌道頂點A靜止開始下滑，滑到圓弧最低點B后，滑上長為L=2m的水平桌面，水平桌面上沿運動方向粘貼了一段長度未知的粗糙紙面，桌面其它部分光滑，小物塊與粗糙紙面的動摩擦系數(shù)為μ=0.25．小物塊滑出桌面后做平拋運動，桌面離地高度h和物體水平飛行距離s都是1.0m（重力加速度g取10m/s²）．求：
（1）在圓弧最低點B處物塊對軌道的壓力為多大？
（2）未知粗糙紙面的長度x為多少？
（3）粗糙紙面放在何處，滑塊從B端滑過桌面用時最短，最短時間為多少？

Answer 1

分析 （1）對從A到B的過程應用機械能守恒求得在B處的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（2）根據平拋運動規(guī)律求得在桌面右邊界的速度，然后對物塊在桌面上的運動應用動能定理即可求得x；
（3）根據物塊在桌面上的運動情況打球的紙面位置，然后由勻速運動、勻變速運動規(guī)律求得運動時間．

解答 解：（1）物塊從A到B只有重力做功，機械能守恒，故有$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，${v}_{B}=\sqrt{2gR}=\sqrt{10}m/s$；
對物塊在B處應用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=2mg$，
故由牛頓第三定律可得：在圓弧最低點B處物塊對軌道的壓力為F_N′=F_N=3mg=30N；
（2）物塊滑出桌面后做平拋運動，設物塊在桌面邊緣的速度為v，則由平拋運動位移功率可得：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，s=vt，那么，$v=\frac{s}{t}=\frac{s}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=\sqrt{5}m/s$；
對物塊在桌面上的運動過程應用動能定理可得：$-μmgx=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-\frac{5}{2}J$，所以，x=1m；
（3）物塊在粗糙紙面上做初速度為v_B，加速度為μg，末速度為v的勻減速運動，運動時間恒定；在紙面左側的部分物塊以v_B勻速運動，在紙面右側的部分物塊以v勻速運動；
故要使從B端滑過桌面用時最短，粗糙紙面的右邊界和桌面右邊界重合；
最短時間為$T=\frac{L-x}{{v}_{B}}+\frac{x}{\frac{1}{2}（{v}_{B}+v）}=\frac{\sqrt{10}}{10}+\frac{2（\sqrt{10}-\sqrt{5}）}{5}（s）$=$\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}（s）$；
答：（1）在圓弧最低點B處物塊對軌道的壓力為2mg；
（2）未知粗糙紙面的長度x為1m；
（3）粗糙紙面的右邊界和桌面右邊界重合時，滑塊從B端滑過桌面用時最短，最短時間為$\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}（s）$．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．