Question

20．如圖所示，真空中有以（r，0）為圓心、半徑為r的圓柱形勻強磁場區(qū)域，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y=r的上方足夠大的范圍內(nèi)，有方向水平向左的勻強電場，電場強度的大小為E，從O點向不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子的運動軌跡均在紙面內(nèi)．設(shè)質(zhì)子在磁場中的軌道半徑也為r，已知質(zhì)子的電量為e，質(zhì)量為m，不計重力及阻力的作用．求：
（1）質(zhì)子射入磁場時的速度大�。�
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時間；
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖所示）射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)，并畫出質(zhì)子運動軌跡的示意圖．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子射入磁場后做勻速圓周運動，洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求速度．
（2）質(zhì)子沿x軸正向射入磁場后經(jīng)$\frac{1}{4}$圓弧后以速度v垂直于電場方向進(jìn)入電場，在磁場中運動的時間t₁=$\frac{1}{4}$T；進(jìn)入電場后做類平拋運動，由運動學(xué)公式求電場中運動的時間，即可求得總時間．
（3）若質(zhì)子速度方向與x軸正方向成30°角射入磁場，在磁場中轉(zhuǎn)過120°角后從P點垂直電場線進(jìn)入電場，畫出軌跡，由幾何關(guān)系的運動學(xué)公式結(jié)合求出到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）質(zhì)子射入磁場后做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$①
解得：v=$\frac{Ber}{m}$②；
（2）質(zhì)子沿x軸正向射入磁場后經(jīng)$\frac{1}{4}$圓弧后以速度v垂直于電場方向進(jìn)入電場，
在磁場中運動的時間t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}×\frac{2πm}{Be}=\frac{πm}{2Be}$③
進(jìn)入電場后做拋物線運動，沿電場方向運動r后到達(dá)y軸，
因此有：t₂=$\sqrt{\frac{2r}{a}}=\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$④
質(zhì)子的運動時間為：t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2Be}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$⑤
（3）質(zhì)子在磁場中轉(zhuǎn)過120°角后從P點垂直電場線進(jìn)入電場，如圖所示．
P點距y軸的距離x₁=r+r•sin30°=1.5r ⑥
因此可得質(zhì)子從進(jìn)入電場至到達(dá)y軸所需時間為：t₃=$\sqrt{\frac{3mr}{eE}}$⑦
質(zhì)子在電場中沿y軸方向做勻速直線運動，
因此有：y′=vt₃=Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$⑧
質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為：y=r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$⑨
答：（1）質(zhì)子射入磁場時的速度大小是$\frac{Ber}{m}$；
（2）速度方向沿x軸正方向射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸所需的時間為$\frac{πm}{2Be}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$；
（3）速度方向與x軸正方向成30°角（如圖中所示）射入磁場的質(zhì)子，到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)是（0，r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$）．

點評 本題主要考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動情況和基本公式，明確帶電粒子在磁場中的圓周運動和電場中的類平拋運動，靈活應(yīng)用幾何關(guān)系求解，屬于中等難度的題目．