Question

3．我國(guó)計(jì)劃在2017年發(fā)射“嫦娥四號(hào)”，它是嫦娥探月工程計(jì)劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星，主要任務(wù)是更深層次、更加全面的科學(xué)探測(cè)月球地貌、資源等方面的信息，完善月球檔案資料．已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，嫦娥四號(hào)離月球中心的距離為r，繞月周期為T．根據(jù)以上信息可求出（　�。�

• A． 月球的平均密度為$\frac{{3π{R^3}}}{{G{T^2}{r^3}}}$
• B． “嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的速度為$\sqrt{\frac{{r}^{2}g}{R}}$
• C． 月球的平均密度$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． “嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的速度為$\frac{2πr}{T}$

Answer 1

分析 月球表面重力等于萬(wàn)有引力，繞月衛(wèi)星的向心力由萬(wàn)有引力提供，據(jù)此列式分析即可

解答 解：AC、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得月球質(zhì)量：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
月球體積$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
月球的平均密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，故AC錯(cuò)誤；
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
由黃金代換式：$GM=g{R}_{\;}^{2}$，代入上式得$v=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{R+h}}$，故B錯(cuò)誤；
D、“嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的速度為$v=\frac{△s}{△t}=\frac{2πr}{T}$，故D正確；
故選：D

點(diǎn)評(píng) 決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$和月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力mg=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$兩個(gè)公式的綜合應(yīng)用，注意軌道半徑與星體半徑的關(guān)系．