Question

4．如圖所示，在光滑的水平面上有一質(zhì)量為M₁=1kg的長(zhǎng)木板B，在其由右端放有一質(zhì)量m=4kg小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)），它們以共同速度v₀=5m/s向右運(yùn)動(dòng)，并與靜止質(zhì)量為M₂=4kg的長(zhǎng)木板C（C與B等高）發(fā)生彈性碰撞，已知C的右端與豎直擋板的距離為$\frac{9}{8}m$，并且C與豎直擋板每次碰撞時(shí)間極短且碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，認(rèn)為上述過(guò)程中C板足夠長(zhǎng)，A始終沒(méi)有與豎直擋板碰撞，A、C間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，g取10m/s²，求：
（1）B與C剛碰完時(shí)，B、C的速度各是多少？
（2）求長(zhǎng)木板C至少為多長(zhǎng)才能保證A不滑落，及最終長(zhǎng)木板C右端距豎直擋板距離為多少？

Answer 1

分析 （1）B、C發(fā)生彈性碰撞，結(jié)合動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求出B與C碰完時(shí)B、C的速度大小．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出A在C上滑行時(shí)，A、C的速度，求出C與豎直擋板碰撞的時(shí)間，得出碰撞前A、C的速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出第一次碰撞后共速的速度大小，再根據(jù)動(dòng)量守恒得出第二次碰撞后的速度為零，結(jié)合能量守恒求出長(zhǎng)木板的最小長(zhǎng)度，根據(jù)動(dòng)能定理求出最終長(zhǎng)木板C右端距豎直擋板距離．

解答 解：（1）B、C發(fā)生碰撞，動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，
規(guī)定向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒有：M₁v₀=M₁v₁+M₂v₂，
根據(jù)機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}{M_1}v_0^2=\frac{1}{2}{M_1}v_1^2+\frac{1}{2}{M_2}v_2^2$，
代入數(shù)據(jù)解得v₁=-3m/s，v₂=2m/s．
（2）之后A、C發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，C勻加速到豎直擋板：
${a}_{1}=\frac{μmg}{{M}_{2}}=\frac{0.1×40}{4}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，
根據(jù)$S={v_2}t+\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$得，代入數(shù)據(jù)解得t=0.5s，
此時(shí)C的速度為   v₂′=v₂+a₁t=2+1×0.5m/s=2.5m/s．
A勻減速${a}_{2}=\frac{μmg}{m}=μg=1m/{s}^{2}$，
此時(shí)A的速度為  v₀′=v₀-a₂t=5-1×0.5m/s=4.5m/s，
C與擋板第一次碰到共速，規(guī)定向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有  $m{v_0}^′-{M_2}{v_2}^′=（{M_2}+m）{v_共}$，
代入數(shù)據(jù)解得v_共=1m/s，
故C第二次與擋板碰撞到A、C相對(duì)靜止，由動(dòng)量守恒定律有mv_共-M₂v_共=0，
對(duì)系統(tǒng)由功能關(guān)系得：$μmgL=\frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}{M_2}v_2^2$
代入數(shù)據(jù)解得  L=14.5m           
由C第二次與擋板碰撞到靜止，動(dòng)能定理有  $μmg{S_2}=\frac{1}{2}{M_2}v_共^2$
代入數(shù)據(jù)解得  S₂=0.5m．
答：（1）B與C剛碰完時(shí)，B、C的速度各是-3m/s、2m/s．
（2）長(zhǎng)木板C至少為14.5m才能保證A不滑落，最終長(zhǎng)木板C右端距豎直擋板距離為0.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒和能量守恒、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清A和C在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．知道彈性碰撞動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒．