Question

如圖預(yù)19-7所示，在長(zhǎng)為m、質(zhì)量為的車廂B內(nèi)的右壁處，放一質(zhì)量的小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)），向右的水平拉力作用于車廂，使之從靜止開始運(yùn)動(dòng)，測(cè)得車廂B在最初2.0 s內(nèi)移動(dòng)的距離，且在這段時(shí)間內(nèi)小物塊未與車廂壁發(fā)生過碰撞．假定車廂與地面間的摩擦忽略不計(jì)，小物塊與車廂壁之間的碰撞是彈性的．求車廂開始運(yùn)動(dòng)后4.0 s時(shí)，車廂與小物塊的速度．

Answer 1

解法一：

1. 討論自B開始運(yùn)動(dòng)到時(shí)間內(nèi)B與A的運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)題意，在2 s內(nèi)，A未與B發(fā)生過碰撞，因此不論A與B之間是否有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不論A與B之間是否有摩擦，B總是作初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)B的加速度為，有

           

得

                                     （1）

如果A、B之間無摩擦，則在B向右移動(dòng)1米距離的過程中，A應(yīng)保持靜止?fàn)顟B(tài)，接著B的車廂左壁必與A發(fā)生碰撞，這不合題意。如果A、B之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)（即兩者之間的摩擦力足以使A與B有一樣的加速度），則B的加速度

這與（1）式矛盾。由此可見，A、B之間既有相對(duì)運(yùn)動(dòng)又存在摩擦力作用。

以表示A、B間的滑動(dòng)摩擦力的大小，作用于B的摩擦力向左，作用于A的摩擦力向右，則有

                                                     （2）

                                              （3）

由（1）、（2）、（3）式得

                                         （4）

                                               （5）

2. 討論B的左壁與A發(fā)生第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)。

由于，B向右的速度將大于A的速度，故A與B的左壁間的距離將減小。設(shè)自靜止開始，經(jīng)過時(shí)間，B的左壁剛要與A發(fā)生碰撞，這時(shí)，B向右運(yùn)動(dòng)的路程與A向右運(yùn)動(dòng)的路程之差正好等于，即有

           

解得

                                                          （6）

代入數(shù)據(jù)，得

               

A與B發(fā)生第一次碰撞時(shí)，碰前的速度分別為

                                                （7）

                                                （8）

3. 討論B與A間的彈性碰撞

以和分別表示第一次碰撞后A和B的速度。當(dāng)、為正時(shí)，分別表示它們向右運(yùn)動(dòng)。在碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，外力的沖量可忽略不計(jì)，因此有

           

               

解以上兩式得

                                     （9）

（9）式表示，在彈性碰撞中，碰撞前后兩者的相對(duì)速度的大小不變，但方向反轉(zhuǎn)。

4. 討論從第一次碰撞到車廂與小物塊速度變至相同過程中的運(yùn)動(dòng)。

由（9）式可以看出，經(jīng)第一次碰撞，A和B都向右運(yùn)動(dòng)，但A的速度大于B的速度，這時(shí)作用于A的摩擦力向左，作用于B的摩擦力向右，大小仍都為。設(shè)此過程中A向左的加速度和B向右的加速度分別為和，則由牛頓第二定律有

           

           

解得

                                                   （10）

                                                 （11）

由此可知，碰撞后，A作減速運(yùn)動(dòng)，B作加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)經(jīng)過時(shí)間，兩者速度相等，第一次達(dá)到相對(duì)靜止，則有

               

由上式和（9）式解得

                                  （12）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                                                        （13）

設(shè)在時(shí)間內(nèi)，A與B的左壁之間的距離增大至，則有

               

結(jié)合（9）、（12）兩式得

                                                                            （14）

式中

                                                          （15）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

               

由（14）可知，A不會(huì)與B的右壁發(fā)生碰撞。

5. 討論A與B的左壁的第二次碰撞。

以表示B與A第一次相等的速度，由于B始終受作用而加速，它將拖著A向右加速，其情況與第一次碰撞前相似。這時(shí)作用于A的摩擦力向右，A的加速度為，方向向右。作用于B的摩擦力向左，B的加速度為，方向也向右。但是原來A與B左端的距離為，現(xiàn)改為，因，B的左壁與小A之間的距離將減小。設(shè)兩者間的距離從減小至零即減小至開始發(fā)生第二次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間為，以代入⑥式，結(jié)合（14）式，即可求得

                                    （16）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得

               

第二次碰撞前瞬間A和B的速度分別為

                

               

                         （17）

故第二次碰撞前A、B速度之差小于第一次碰撞前A、B的速度差。設(shè)第二次碰撞完畢的瞬間A、B的速度分別為和，則有

                                      （18）

第二次碰撞后，A以加速度作減速運(yùn)動(dòng)，B以加速度作加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)經(jīng)歷時(shí)間，兩者速度相等，即第二次相對(duì)靜止，則有

               

解得

                                  （19）

在時(shí)間內(nèi)，A與B的左壁的距離變?yōu)?sub>，有

               

結(jié)合（8）、（9）得

                                                                 （20）

自B開始運(yùn)動(dòng)到A與B達(dá)到第二次相對(duì)靜止共經(jīng)歷時(shí)間

                

               

6. 討論A與B的左壁的第三次碰撞。

當(dāng)A與B的左壁之間的距離為時(shí)，A、B相對(duì)靜止。由于B受外力作用而繼續(xù)加速，它將拖著A向右加速。這時(shí)，A的加速度為，B的加速度為，方向都向右，但因，A將與B的左壁發(fā)生第三次碰撞。設(shè)此過程經(jīng)歷的時(shí)間為，則以代入（6）式結(jié)合（16）式得

                         （21）

設(shè)第三次碰撞前瞬間A和B的速度分別為和，碰撞后的速度分別為和

               

碰撞后，A以加速度作減速運(yùn)動(dòng)，B以加速度作加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)經(jīng)過時(shí)間兩者速度相等，即第三次相對(duì)靜止，A與B左壁之間的距離為。則有

                                                    （22）

                  

自B開始運(yùn)動(dòng)至第三次A與B相對(duì)靜止共經(jīng)歷的時(shí)間仍小于4 s。

7. 討論車廂左壁與小物塊的第次碰撞。

在第次碰撞完畢的瞬間，A和B的速度分別為和，A以加速度作減速運(yùn)動(dòng)，B以加速度作加速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過時(shí)間，兩者速度相等，即第次相對(duì)靜止。A與B左壁之間的距離為。根據(jù)前面的討論有

                                                            （23）

               

再經(jīng)過時(shí)間將發(fā)生B的左壁與A的第次碰撞。碰撞前兩者的速度分別為和。根據(jù)前面的討論，有

                                                             （24）

               

可以看出，碰撞次數(shù)越多，下一次碰撞前，A、B速度之差越小。當(dāng)碰撞次數(shù)非常大時(shí)，下次碰撞前兩者的速度趨于相等，即A實(shí)際上將貼在B的左壁上不再分開。

8. 討論第4秒B與A的運(yùn)動(dòng)速度。

第4秒末B與A的速度取決于在第4秒末B與A經(jīng)歷了多少次碰撞。B自靜止開始運(yùn)動(dòng)到第次相對(duì)靜止經(jīng)歷的總時(shí)間為

            

                                           （25）

以，代入，注意到當(dāng)很大時(shí)，得

                                                    （26）

這表明早在第4秒之前，A與B的左壁貼在一起時(shí)二者速度已相同，不再發(fā)生碰撞，此后二者即以相同的速度運(yùn)動(dòng)了、現(xiàn)以A和B都靜止時(shí)作為初態(tài)，設(shè)時(shí)刻A和B的速度為，對(duì)A、B開始運(yùn)動(dòng)至的過程應(yīng)用動(dòng)量定理，得

                                                       （27）

或

               

代入數(shù)值，得

                                                          （28）

解法二：

如果A與B之間沒有摩擦力，B前進(jìn)1m就會(huì)與A發(fā)生碰撞。已知開始2s為A與B未發(fā)生碰撞，而B已走了5m，可見二者之間有摩擦力存在，且在此期間二者均作勻加速運(yùn)動(dòng)。由可求出B對(duì)地面的加速度：

            ，                              

設(shè)A與B底部之間的滑動(dòng)摩擦力為，則由小車的運(yùn)動(dòng)方程

               

代入數(shù)值得

                                                                

又由A的運(yùn)動(dòng)方程得A的相對(duì)地面的加速度為

                                                    

于是，A對(duì)B的相對(duì)加速度為

                                             

第一次碰撞

由開始運(yùn)動(dòng)到A碰撞B的左壁的時(shí)間滿足，。于是

                                                     

A與B的左壁碰撞前瞬間，A相對(duì)B的速度

                                  

由于作彈性碰撞的兩個(gè)物體在碰撞前后其相對(duì)速度等值反向，所以碰后A從B的左壁開始，以相對(duì)速度

                                    

向右運(yùn)動(dòng)，所受摩擦力反向向左，為。對(duì)地面的加速度為

                                                  

此時(shí)B所受的摩擦力方向向右，由其運(yùn)動(dòng)方程得B對(duì)地面的加速度為

                                                  

由、二式知，碰后A對(duì)B的相對(duì)加速度為

                                             

A相當(dāng)于B作向右的勻減速運(yùn)動(dòng)。設(shè)A由碰后開始達(dá)到相對(duì)靜止的時(shí)間為，相當(dāng)于B走過的距離為，由式得

                                        

                             

可見A停止在B當(dāng)中，不與B的右壁相碰。

第二次碰撞

A在B內(nèi)相對(duì)靜止后，將相當(dāng)于B向左滑動(dòng)，所受的摩擦力改為向右，而B所受的摩擦力改為向左。這時(shí)A對(duì)B的相對(duì)加速度重新成為，即式。A由相對(duì)靜止到與B的左壁第二次碰撞所需的時(shí)間可用算出：

                                

自B開始運(yùn)動(dòng)至B的左壁與A發(fā)生第二次碰撞經(jīng)歷的時(shí)間

               

A達(dá)到B的左壁前相當(dāng)于B的速度的大小為

                                   

這也就是第二次碰后A由B的左壁出發(fā)的相對(duì)速度大小。第二次碰后，A相對(duì)B向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)A相對(duì)于B的相對(duì)加速度又成為，即式。A由碰撞到相對(duì)靜止所需要的時(shí)間和相當(dāng)于B走過的距離分別為

                     

               

以后的碰撞

根據(jù)、二式，如令

                                      

則有

                   

由此可以推知，在第三次碰撞中必有

                                                

在第次碰撞中有

                                                      

即每一次所需時(shí)間要比上次少得多（A在B中所走的距離也小得多）。把所有的時(shí)間加在一起，得

         

這就是說，在B開始運(yùn)動(dòng)后3.56 s時(shí)，A將緊貼B的左壁，并與B具有相同速度，二者不再發(fā)生碰撞，一直處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)�，F(xiàn)取A和B都靜止時(shí)作為初態(tài)，以時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為末態(tài)，設(shè)此時(shí)A和B的速度為，由動(dòng)量定理，有

               

代入數(shù)值，得

                                                 

答：自車廂開始運(yùn)動(dòng)到4.0 s時(shí)車廂與物塊的速度相同，均為

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分。

得出摩擦力得5分，得出第一次碰撞時(shí)間得5分，得出第二次碰撞時(shí)間得5分。得出無窮次碰撞時(shí)間得5分 ，得到最后結(jié)果再得5分。