Question

13．如圖所示，板間距為d、板長(zhǎng)為L(zhǎng)的兩塊平行金屬板EF、GH水平放置，在緊靠平行板右側(cè)的正三角形區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三角形底邊BC與GH在同一水平線上，頂點(diǎn)A與EF在同一水平線上．一個(gè)質(zhì)量為m、電量為-q的粒子沿兩板中心線以初速度v₀水平射入，若在兩板之間加某一恒定電壓，粒子離開(kāi)電場(chǎng)后垂直AB邊從D點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，BD=$\frac{1}{4}$AB，并垂直AC邊射出（不計(jì)粒子的重力），求：
（1）粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)瞬時(shí)速度v的大��；兩極板間電壓U的大��；
（2）三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）若兩板間不加電壓，三角形區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后能從AB邊射出，試求所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子離開(kāi)電場(chǎng)后速度垂直AB邊，由幾何知識(shí)可求出速度的偏向角，根據(jù)速度的分解則能求出粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)瞬時(shí)速度的大��；粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電壓．
（2）粒子垂直進(jìn)入三角形區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，由于粒子垂直AB邊射入和AC邊射出，由幾何知識(shí)求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）若兩板間不加電壓，三角形區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，當(dāng)粒子剛好與BC邊相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，作出軌跡，由幾何知識(shí)求出最小半徑，由牛頓第二定律即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖所示，由幾何知識(shí)得：粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)角為θ=30⁰，
則粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)瞬時(shí)速度的大小為$v=\frac{v_0}{cosθ}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{v_0}$…①
在電場(chǎng)中豎直方向：${v_y}=\frac{qU}{md}•（\frac{L}{v_0}）$…②

由幾何關(guān)系得：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$…③
解得：$U=\frac{{\sqrt{3}mdv_0^2}}{3qL}$…④；
（2）如圖由幾何關(guān)系得：${L_{AB}}=\frac2l0dz23{{cos{{30}^0}}}$…⑤
設(shè)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為r₁，則${r_1}=\frac{3}{4}{L_{AB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}d$…⑥
由牛頓第二定律   ${B_1}qv=\frac{{mv_{\;}^2}}{r_1}$…⑦
聯(lián)立①⑥⑦得，${B_1}=\frac{{4m{v_0}}}{3qd}$…⑧
方向：直紙面向外；
（3）當(dāng)粒子剛好與BC邊相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為r₂，
軌跡如圖，由幾何知識(shí)知：${r_2}=\fracfw65njm{4}$…⑨
由牛頓第二定律得：${B_2}q{v_0}=\frac{mv_0^2}{r_2}$…⑩
解得：${B_2}=\frac{{4m{v_0}}}{qd}$，即磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值；
答：（1）粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)瞬時(shí)速度v的大小為$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3}$；兩極板間電壓U的大小為$\frac{\sqrt{3}md{v}_{0}^{2}}{3qL}$；
（2）三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{4m{v}_{0}}{3qd}$，方向垂直于紙面向外；
（3）所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值為$\frac{4m{v}_{0}}{qd}$．

點(diǎn)評(píng) 本題粒子先在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究；后在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫軌跡、幾何知識(shí)求出半徑是常用的方法和思路．