Question

5．如圖所示，三角形AQC是邊長(zhǎng)為2L的等邊三角形，P、D分別為AQ、AC的中點(diǎn)，在水平線QC下方是水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)；區(qū)域I（梯形PQCD）內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，區(qū)域II（三角形APD）內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域III（虛線PD之上，三角形APD以外）有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域II、III內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為5B，一帶正電的粒子從Q點(diǎn)正下方、距離Q點(diǎn)為L(zhǎng)的O點(diǎn)以某一初速度射出，在電場(chǎng)力作用下從QC邊中點(diǎn)N以速度v₀垂直QC射入?yún)^(qū)域I，接著從P點(diǎn)垂直AQ射入?yún)^(qū)域III，此后帶電粒子經(jīng)歷一系列運(yùn)動(dòng)后又以原速率返回O點(diǎn)．粒子重力忽略不計(jì)，求：
（1）該粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E及粒子從O點(diǎn)射出時(shí)初速度v的大��；
（3）粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所經(jīng)歷的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為Q點(diǎn)，故半徑等于QN，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（2）粒子從O到N與從N到O是逆過程，N到O做類平拋運(yùn)動(dòng)；故O到N的豎直分運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平分運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式求解即可；
（3）畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，找出半徑與三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系，定出時(shí)間與周期的關(guān)系，求出時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
由題意可知：R=L，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{{v}_{0}}{BL}$；
（2）粒子從O到N，由運(yùn)動(dòng)合成與分解的規(guī)律可得：L=v₀t₀，$L=\frac{1}{2}at_0^2$
由牛頓第二定律可得：$a=\frac{qE}{m}$，解得：E=2Bv₀，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：$v_x^2=2aL$
由勾股定理可得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$v₀；
（3）粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間包括三段：
電場(chǎng)中往返的時(shí)間t₀、區(qū)域Ⅰ中的時(shí)間t₁、區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中的時(shí)間t₂+t₃．
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有${t_0}=\frac{2L}{v_0}$
設(shè)在區(qū)域Ⅰ中的時(shí)間為t₁，則${t_1}=2\frac{2πL}{{6{v_0}}}=\frac{2πL}{{3{v_0}}}$
粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：qv₀•5B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
則粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，總路程為$（2+\frac{5}{6}）$個(gè)圓周，
區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)總路程為：$s=（2+\frac{5}{6}）×2πr$，${t_2}+{t_3}=\frac{s}{v_0}=\frac{17πL}{{15{v_0}}}$，
故總時(shí)間為：$t={t_1}+{t_2}+{t_3}=\frac{2L}{v_0}+\frac{9}{5}\frac{πL}{v_0}$
答：（1）該粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{{v}_{0}}{BL}$；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度E為2Bv₀，粒子從O點(diǎn)射出時(shí)初速度v的大小為$\sqrt{5}$v₀；
（3）粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所經(jīng)歷的時(shí)間t為$\frac{2L}{{v}_{0}}$+$\frac{9πL}{5{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題，綜合性較強(qiáng)．磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)要畫軌跡分析運(yùn)動(dòng)過程，探索規(guī)律，尋找半徑與三角形邊的關(guān)系是關(guān)鍵．