Question

16．如圖所示，在光滑的水平面上，停放著木球和載人小車，木球的質量為m，人和小車的總質量為M，且M=10m，人把木球以相對地面的速度v₀推向豎直的墻壁，球與墻壁碰撞后又以原速度v₀反彈，人接住球后再以相對地面的速度v₀把木球推向墻壁，如此反復，求：
（1）人推球多少次后，才接不到反彈回來的球；
（2）整個過程中，人對系統(tǒng)所做的功（用m、v₀表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)人、車、木球組成的系統(tǒng)動量守恒求得第一次推出木球后小車的速度；由動量守恒再求出接住球后的速度；同理依此類推，當推出木球后，人和車的速度大于木球的速度時，則人不可能再次推木球，根據(jù)動量守恒求解．
（2）根據(jù)動能定理可知，人做的功轉化為小車、人和木球的動能，據(jù)此求解即可；

解答 解：（1）人第一次推出木球前后人車木球組成的系統(tǒng)動量守恒，取小車的速度方向為正方向則有：
Mv₁+m（-v₀）=0
可得人和小車獲得的速度：${v}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{M}=\frac{1}{10}{v}_{0}$
推出的木球與墻壁作用后速度大小不變的改變方向相反運動，再次與人和車相互作用再以速度v₀返回
根據(jù)動量守恒可知，人與木箱作用一次，人和車的動量增加2mv₀，結合第一次推木箱時，人和車動量增加mv₀，則可知，人與木球最多作用N次后人和小車獲得的動量為：
P=（2N-1）mv₀
當人和車的速度大于木球的速度后，木球反彈后將追不上人和車，故不能再次發(fā)生碰撞，故此時人和車的速度
${v}_{x}=\frac{P}{M}=\frac{（2N-1）mv}{M}$=$\frac{2N-1}{10}$v₀    ①
此后木球將不再與車碰撞，故滿足：
v_x≥v
即：$\frac{2N-1}{10}{v}_{0}＞{v}_{0}$
即N≥$\frac{11}{2}$=5.5
N取整數(shù)，故人最多推6次木箱．
（2）將N=6代入①可得：${v}_{6}=\frac{11}{10}{v}_{0}$
根據(jù)動能定理可知，人推出木箱過程中所做的功等于人車和木箱增加的動能，故有：
W=$\frac{1}{2}M{v}_{6}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=$\frac{1}{2}×10m×（\frac{11}{10}{v}_{0}）^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{131}{20}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）人推球6次后，才接不到反彈回來的球；
（2）整個過程中，人對系統(tǒng)所做的功為$\frac{131}{20}m{v}_{0}^{2}$．

點評 解決本題的關鍵是掌握人推木球過程中系統(tǒng)動量守恒，注意根據(jù)動量守恒得出人推木球一次后人與車的動量增量，并知道不再推木球的臨界條件是人推出木球后車的速度大于等于木球的速度，此后將不會再推木球．