Question

11．在木板AF的CD間豎直固定一電阻為1Ω、邊長(zhǎng)為0.8m的正方形線框，總質(zhì)量M=100g，木板靜止放在光滑的水平面上，在木板AC段上方有場(chǎng)強(qiáng)E=2N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在CD段上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.25T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．CD段的長(zhǎng)度是L₁=0.8m，DF段的長(zhǎng)度L₂=0.7m，一質(zhì)量m=50g、電荷量q=+0.1C的小物塊，自A點(diǎn)靜止釋放運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，木板才開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．當(dāng)線圈穿出磁場(chǎng)時(shí)小物塊恰好滑到木板最右端且與木板保持相對(duì)靜止．已知AC段光滑，CDF段動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，線框所在平面與小物塊的速度方向不在同一條直線上．電場(chǎng)和磁場(chǎng)不隨木板移動(dòng)，重力加速度g=10m/s²．求：

（1）AC段的長(zhǎng)度；
（2）小物塊穿過(guò)磁場(chǎng)后在木板上相對(duì)木板滑到的時(shí)間；
（3）線框穿出磁場(chǎng)的過(guò)程中通過(guò)線框截面的電荷量及產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)小物塊在CD段上運(yùn)動(dòng)，木板不動(dòng)得到摩擦力為零，進(jìn)而由牛頓第二定律通過(guò)洛倫茲力得到小物塊的速度，然后再由小物塊在AC段上只有電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理求解；
（2）通過(guò)受力分析得到小物塊在DF上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，然后由勻變速位移公式求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）電荷量通過(guò)平均電流、平均電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而由磁通量的變化量求解，焦耳熱通過(guò)能量守恒求得．

解答 解：（1）小物塊自A點(diǎn)靜止釋放運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，木板才開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，故在小物塊從A到D過(guò)程中，木板在水平方向上的合外力為零，即小物塊對(duì)木板的摩擦力為零，所以，小物塊在CD段洛倫茲力等于重力，即mg=qvB，所以，$v=\frac{mg}{qB}=4m/s$；
那么，小物塊在CD上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，又有小物塊在AC上的合外力為電場(chǎng)力，故對(duì)小物塊在AC段上應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$qE{L}_{AC}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，${L}_{AC}=\frac{m{v}^{2}}{2qE}=2m$；
（2）小物塊穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)的速度為v=4m/s，之后受到的合外力為F=μmg，所以，小物塊做加速度a=μg=5m/s²的勻減速運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)線圈穿出磁場(chǎng)時(shí)小物塊恰好滑到木板最右端且與木板保持相對(duì)靜止，那么小物塊的位移為L(zhǎng)₁+L₂，運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t≤\frac{v}{a}=0.8s$；
所以，由勻變速運(yùn)動(dòng)位移公式可得：${L}_{1}+{L}_{2}=vt-\frac{1}{2}a{t}^{2}$，即$1.5=4t-\frac{5}{2}{t}^{2}$，所以，t=0.6s；
（3）由法拉第電磁感應(yīng)定律可得：線圈的電動(dòng)勢(shì)$E=\frac{△Φ}{△t}$，故由閉合電路歐姆定律可得：$I=\frac{E}{R}=\frac{△Φ}{R△t}$，所以，線框穿出磁場(chǎng)的過(guò)程中通過(guò)線框截面的電荷量$q=I△t=\frac{△Φ}{R}=\frac{BS}{R}=\frac{1.25×0．{8}^{2}}{1}C=0.8C$；
由（2）可知，當(dāng)線圈穿出磁場(chǎng)時(shí)小物塊恰好滑到木板最右端且與木板保持相對(duì)靜止，這時(shí)的速度v′=v-at=1m/s；
小物塊在DF上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，對(duì)小物塊和木板只有摩擦力和安培力做功，又有克服安培力做的功等于線框產(chǎn)生的焦耳熱，故由能量守恒定律可得：
$Q=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}-μmg{L}_{2}$=$\frac{1}{2}×0.05×{4}^{2}-\frac{1}{2}×0.15×{1}^{2}-0.5×0.05×10×0.7（J）=0.15J$；
答：（1）AC段的長(zhǎng)度為2m；
（2）小物塊穿過(guò)磁場(chǎng)后在木板上相對(duì)木板滑到的時(shí)間為0.6s；
（3）線框穿出磁場(chǎng)的過(guò)程中通過(guò)線框截面的電荷量為0.8C，產(chǎn)生的焦耳熱為0.15J．

點(diǎn)評(píng) 閉合電路切割磁感線的問(wèn)題中，一般通過(guò)磁通量的變化求得平均電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而由歐姆定律求得平均電流，即可求得電量．