Question

10．如圖所示，光滑的水平平臺中間有一光滑小孔，手握輕繩下端，拉住在平臺上做圓周運動的小球．某時刻，小球做圓周運動的半徑為a、角速度為ω，然后松手一段時間，當(dāng)手中的繩子向上滑過h時立即拉緊，達(dá)到穩(wěn)定后，小球又在平臺上做勻速圓周運動．設(shè)小球質(zhì)量為m，平臺面積足夠大．
（1）松手之前，輕繩對小球的拉力大�。�
（2）繩子在手中自由滑動的時間為多少？
（3）小球最后做勻速圓周運動的角速度．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面內(nèi)做圓周運動的向心力是由輕繩提供，根據(jù)牛頓第二定律可以解出輕繩對小球的拉力；
（2）松手后，由于慣性，小球沿切線方向飛出做勻速直線運動，找到直線運動的位移結(jié)合運動規(guī)律解出所需的時間；
（3）小球運動的法向速度在達(dá)到運動半徑為a+h時，立刻減為零，只剩切線方向的分速度．根據(jù)圓周運動的規(guī)律解答．

解答 解：（1）松手前，輕繩的拉力大小為 T=mω²a．
（2）松手后，由于慣性，小球沿切線方向飛出做勻速直線運動，速度為：
  v=ωa　
勻速運動的位移為：
s=$\sqrt{（a+h）^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2ah+{h}^{2}}$　
則時間為：
t=$\frac{s}{v}$=$\frac{\sqrt{2ah+{h}^{2}}}{ωa}$．
（3）如圖乙所示，v可分解為切向速度v₁和法向速度v₂，繩被拉緊后v₂=0，小球以速度v₁做勻速圓周運動，半徑為：
r=a+h　
由v₁=$\frac{a}{a+h}$v=$\frac{{a}^{2}ω}{a+h}$　
得：ω′=$\frac{{v}_{1}}{r}$=$\frac{{a}^{2}ω}{（a+h）^{2}}$．
答：（1）松手之前，輕繩對小球的拉力大小是mω²a．
（2）繩子在手中自由滑動的時間為$\frac{\sqrt{2ah+{h}^{2}}}{ωa}$．
（3）小球最后做勻速圓周運動的角速度為$\frac{{a}^{2}ω}{（a+h）^{2}}$．

點評 注意理解v可分解為切向速度v₁和法向速度v₂，繩被拉緊后v₂=0，小球以速度v₁做勻速圓周運動．