Question

10．如圖所示，水平空間內(nèi)有垂直紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ、Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向如圖所示，大小未知．區(qū)域Ⅰ內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場，區(qū)域Ⅱ內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場，兩區(qū)域內(nèi)的電場強(qiáng)度大小相等，現(xiàn)有一質(zhì)量m=10^-2kg，帶電荷量q=+10^-2C的小球從邊界MN左側(cè)相距為L的A點(diǎn)以v₀=5m/s的初速度沿粗糙、絕緣的水平面向右運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入復(fù)合場區(qū)域后，小球立即在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后離開磁場第一次落地位置恰好與A點(diǎn)重合，已知小球與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.225，L=2m，取g=10m/s²，求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E和區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁各為多大；
（2）小球從A點(diǎn)出發(fā)到再次落回A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t；
（3）若小球在A點(diǎn)以v′₀=9m/s的初速度沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后恰好能沿直線運(yùn)動(dòng)，求有界磁場區(qū)域Ⅰ的寬度d，及區(qū)域Ⅱ內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂．

Answer 1

分析 （1）小球進(jìn)入復(fù)合場區(qū)域后，小球立即在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場力的大小相等，方向相反；A到N的過程中摩擦力做功，由動(dòng)能定理即可求出小球到達(dá)N點(diǎn)的速度．小球離開磁場后做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，即可求出下落的高度，然后結(jié)合幾何關(guān)系由于洛倫茲力提供向心力的公式即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）小球在AN之間做減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出時(shí)間；粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由周期公式即可求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最后求和；
（3）A到N的過程中摩擦力做功，由動(dòng)能定理即可求出小球到達(dá)N點(diǎn)的速度．小球進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后恰好能沿直線運(yùn)動(dòng)，說明小球受到的合外力為0，受力分析即可求出小球的速度，結(jié)合動(dòng)能定理即可求出有界磁場區(qū)域Ⅰ的寬度d及區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小．

解答 解：（1）小球進(jìn)入復(fù)合場區(qū)域后，小球立即在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場力的大小相等，方向相反；即：
qE=mg
所以：E=$\frac{mg}{q}$=$\frac{1{0}^{-2}×10}{1{0}^{-2}}$N/C=10N/C
A到N的過程中摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：-μmgL=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v₁=4m/s
由于小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以小球在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的軌跡是半個(gè)圓，小球離開磁場后做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，水平方向：L=v₁t₁
得：t₁=$\frac{L}{{v}_{1}}$=$\frac{2}{4}$s=0.5s
小球下落的高度：h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$×10×0.52m=1.25m
小球在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的軌跡是半個(gè)圓，結(jié)合幾何關(guān)系可得：h=2r
所以：r=$\frac{1}{2}$h=0.625m
小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力恰好提供向心力，得：qv₁B₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$
所以解得 B₁=$\frac{m{v}_{1}}{qr}$=6.4T
（2）小球在AN之間做減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：a=-$\frac{μmg}{m}$=-μg=-0.225×10=-2.25m/s²
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{a}$=$\frac{4-5}{-2.25}$s=0.44s；
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由周期公式得：
 T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π×0.01}{0.01×6.4}$s≈1s
小球在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的軌跡是半個(gè)圓，所以小球在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₃=$\frac{1}{2}$T=0.5s
小球從A點(diǎn)出發(fā)到再次落回A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=0.5s+0.44s+0.5s=1.44s
（3）A到N的過程中摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
代入數(shù)據(jù)得：v₂=6$\sqrt{2}$m/s
小球進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后恰好能沿直線運(yùn)動(dòng)，說明小球受到的合外力為0，此時(shí)小球受到重力、水平方向的電場力和洛倫茲力的作用，由于電場力的大小與重力的大小相等，所以洛倫茲力的方向一定與重力、電場力的合力的方向相反，大小相等，如圖：

由左手定則可知，小球運(yùn)動(dòng)的方向與x軸成45°角，洛倫茲力的大小：f=$\sqrt{2}$mg=$\sqrt{2}$×0.01×10=0.1 $\sqrt{2}$N
又：f=qv₂B₂
所以：B₂=$\frac{f}{q{v}_{2}}$=$\frac{0.1}{0.01×6}$=$\frac{5}{3}$T
小球在區(qū)域Ⅰ中仍然做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的半徑：r′=$\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{1}}$=$\frac{0.01×6\sqrt{2}}{0.01×6.4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3.2}$m
小球在磁場中的偏轉(zhuǎn)角是45°，由幾何關(guān)系可得：$\fracb3l5fbb{r′}$=sin45°
所以：d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r′=$\frac{3}{3.2}$m≈0.94m
答：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度是10N/C，區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小是6.4T；
（2）小球從A點(diǎn)出發(fā)到再次落回A點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間是1.44s．
（3）有界磁場區(qū)域Ⅰ的寬度是 0.94m，區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小是 $\frac{5}{3}$T．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，要注意當(dāng)粒子在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子受到的電場力與重力平衡．