Question

1．“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星以圓形軌道繞月飛行，衛(wèi)星將獲取的信息以微波信號(hào)發(fā)回地球，假設(shè)衛(wèi)星繞月的軌道平面與地月連心線共面，各已知物理量如表中所示：

地球 質(zhì)量	月球 質(zhì)量	地球 半徑	月球 半徑	月球表面 重力加速度	月球繞地 軌道半徑	衛(wèi)星繞月 軌道半徑
M	m	R	R1	g1	r	r1

（1）嫦娥一號(hào)在奔月過(guò)程中可能會(huì)經(jīng)過(guò)受地球和月球引力的合力為零的位置，求這位置離月球表面的高度H．
（2）求嫦娥一號(hào)在圓軌道半徑為r₁上繞月球飛行的周期為T(mén)．（忽略地球引力的影響；所有結(jié)果均用表格已知物理量表達(dá)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力公式由引力相等求得衛(wèi)星距月球表面的距離；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和月球表面重力與萬(wàn)有引力相等求得嫦娥一號(hào)的運(yùn)行周期．

解答 解：（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m'，由萬(wàn)有引力定律得：
衛(wèi)星受地球和月球引力相等有：
G $\frac{Mm′}{{L}_{1}^{2}}$=G$\frac{mm′}{{L}_{2}^{2}}$ ①
由題意知，L₁+L₂=r       ②
衛(wèi)星到月球表面的距離為：h=L₂-R₁      ③
由①②③可解得h=$\frac{r\sqrt{m}}{\sqrt{M}+\sqrt{m}}-{R}_{1}$
（2）由月球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力可得：
G$\frac{mm′}{{r}_{1}^{2}}$=mr₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$④
而在月球表面有：G$\frac{mm′}{{R}_{1}^{2}}$=m′g₁     ⑤
由④⑤兩式可解得衛(wèi)星的周期T=$\frac{2π{r}_{1}}{{R}_{1}}\sqrt{\frac{{r}_{1}}{{g}_{1}}}$
答：（1）嫦娥一號(hào)在奔月過(guò)程中受地球和月球引力相等時(shí)離月球表面的高度為$\frac{r\sqrt{m}}{\sqrt{M}+\sqrt{m}}-{R}_{1}$；
（2）嫦娥一號(hào)在圓軌道半徑為r₁上繞月球飛行的周期為$\frac{2π{r}_{1}}{{R}_{1}}\sqrt{\frac{{r}_{1}}{{g}_{1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握萬(wàn)有引力公式是正確解題的基礎(chǔ)，知道在星球表面重力與萬(wàn)有引力相等，和萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力作為問(wèn)題的切入口．