Question

16．質(zhì)量為m的小車，靜止在光滑水平地面上，車長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)給小車施加一水平向右的恒力F，使小車向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，從小車正前方的A點(diǎn)自由釋放一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），A點(diǎn)距地面高為H、與小車右端水平距離為s，如圖所示，若不計(jì)小車高度，忽略小球與小車碰撞對(duì)小車速度的影響，小車質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小球質(zhì)量，重力加速度為g．
求：（1）恒力F滿足什么條件可保證小球落到小車上？
（2）在A點(diǎn)有多個(gè)可釋放的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），若前一個(gè)小球落到地面時(shí)，后一個(gè)小球剛好開(kāi)始下落，當(dāng)恒力F作用在小車上時(shí)第一個(gè)小球開(kāi)始下落，通過(guò)調(diào)整恒力F和s的大小，能使相鄰的兩個(gè)小球恰好落到小車的車頭和車尾，請(qǐng)計(jì)算改變后的恒力F和s的大小．

Answer 1

分析 （1）小球自由下落的高度一定，則下落的時(shí)間一定，小球落在小車上，則在這段時(shí)間內(nèi)的位移大于s，小于（L+s），根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出小車加速度的范圍，進(jìn)而求出恒力范圍．
（2）設(shè)第n個(gè)小球恰落在車前，第n+1個(gè)小球恰好落在車尾，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可判斷

解答 解：
（1）設(shè)小球的下落時(shí)間為t，
由$H=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$
欲使小球落在小車上，則在這段時(shí)間內(nèi)小車的位移須s≤x≤L+s
由$s=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$          可得${a}_{1}=\frac{s}{H}g$
由$s+L=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$       可得${a}_{2}=\frac{s+L}{H}g$
根據(jù)牛頓第二定律：恒力F滿足$\frac{mgs}{H}≤F≤\frac{mg（s+L）}{H}$
（2）設(shè)第n個(gè)小球恰落在車前，第n+1個(gè)小球恰好落在車尾．
對(duì)第n個(gè)小球分析：$H=\frac{1}{2}{gt}_{1}^{2}$
對(duì)小車分析：$a=\frac{F}{m}$  
$s=\frac{1}{2}a{{n}^{2}t}_{1}^{2}$
同理可得：$s+L=\frac{1}{2}a（n+1{）^{2}t}_{1}^{2}$
聯(lián)立以上各式解得：$s=\frac{{n}^{2}}{2n+1}L$    （n=1，2，3…） 
$F=\frac{mgL}{92n+1）H}$   （n=1，2，3…）
答：（1）恒力F滿足$\frac{mgs}{H}≤F≤\frac{mg（s+L）}{H}$可保證小球落到小車
（2）改變后的恒力F和s的大小分別為$s=\frac{{n}^{2}}{2n+1}L$，$F=\frac{mgL}{92n+1）}H$（n=1，2，3…）

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵抓住小球下落的時(shí)間和小車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)間公式求加速度的范圍．