Question

1．豎直平面內(nèi)有區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，區(qū)域Ⅰ與Ⅱ在水平地面上方，Ⅲ在水平地面的右方，區(qū)域Ⅱ的寬度為L(zhǎng)=10m．區(qū)域Ⅰ內(nèi)有水平傳送帶AB，AB長(zhǎng)為L(zhǎng)_AB=36m，B端距地面的高度為h=5m，區(qū)域Ⅲ內(nèi)有豎起向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E=10V/m和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B=π（T），電磁場(chǎng)區(qū)域無(wú)限寬廣．一質(zhì)量為m=0.01kg、帶電量為+q=0.01C的帶電物塊（可看成質(zhì)點(diǎn)）靜止于A處．傳送帶絕緣，物塊與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2．不計(jì)空氣阻力和皮帶輪的大小，g=10m/s²．
（1）若傳送帶順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，v₀=4m/s，則物塊經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)；
（2）若物塊恰好從Ⅱ區(qū)右下角進(jìn)入Ⅲ區(qū)，求傳送帶向右勻速運(yùn)動(dòng)的速度和物塊在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）計(jì)算物塊在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑與傳送帶速度的關(guān)系，并求出最小半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)滑動(dòng)摩擦力，結(jié)合牛頓第二定律，求得滑塊在皮帶上的加速度，再根據(jù)皮帶速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，發(fā)現(xiàn)滑塊在皮帶上先勻加速，后勻速，從而即可求解時(shí)間；
（2）根據(jù)滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，由水平位移與豎直高度，從而求得拋出的初速度，再由速度的合成，求得進(jìn)入電磁場(chǎng)的速度大小與方向，再根據(jù)電場(chǎng)力與重力平衡，可判定帶電滑塊在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后由周期公式，結(jié)合圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求解；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，從而求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由速度的合成，求得滑塊進(jìn)入電磁場(chǎng)的速度，再結(jié)合半徑公式，即可列出表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，求得半徑最小值．

解答 解：（1）物塊與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2．
由牛頓第二定律，則有加速度a=μg=2m/s²；
若傳送帶順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，v₀=4m/s，
則滑塊經(jīng)過(guò)t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=2s達(dá)到共同速度，
在2s內(nèi)滑塊發(fā)生位移s₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$=4m；
因此滑塊先勻加速后勻速直線運(yùn)動(dòng)，t₂=$\frac{{s}_{AB}-{s}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{36-4}{4}$s=8s；
那么物塊經(jīng)過(guò)t=2+8=10s時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)；
（2）物塊恰好從Ⅱ區(qū)右下角進(jìn)入Ⅲ區(qū)，滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，

水平方向，L=v₀t=10m
豎直方向，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=5m；
解得：v₀=10m/s
而v_y=gt=10m/s
因此滑塊以10$\sqrt{2}$m/s，與豎直夾角為45°速度，進(jìn)入電磁場(chǎng)中，
由于mg=0.01×10=0.1N
而qE=0.01×10=0.1N
因電場(chǎng)力與重力相等，則帶電滑塊在電磁場(chǎng)中，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
那么圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為270°，因此物塊在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₃=$\frac{3}{4}T$=$\frac{3}{4}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3}{2}s$
（3）滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入電磁場(chǎng)的時(shí)間為t₄=$\frac{L}{{v}_{皮}}$
那么滑塊進(jìn)入電磁場(chǎng)的豎直方向速度v_y′=$\frac{gL}{{v}_{皮}}$
由速度合成可知，滑塊進(jìn)入電磁場(chǎng)的速度v′=$\sqrt{（\frac{gL}{{v}_{皮}}）^{2}+{v}_{皮}^{2}}$
根據(jù)滑塊做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式R=$\frac{mv′}{qB}$=$\frac{m}{qB}$$\sqrt{（\frac{gL}{{v}_{皮}}）^{2}+{v}_{皮}^{2}}$
由上式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，可知，當(dāng)v_皮=10m/s時(shí)，運(yùn)動(dòng)的半徑最小，
最小半徑為R_min=$\frac{0.01×10\sqrt{2}}{0.01×π}$=4.5m
答：（1）若傳送帶順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，v₀=4m/s，則物塊經(jīng)過(guò)10s時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)；
（2）若物塊恰好從Ⅱ區(qū)右下角進(jìn)入Ⅲ區(qū)，傳送帶向右勻速運(yùn)動(dòng)的速度10m/s
和物塊在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間1.5s；
（3）物塊在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑與傳送帶速度的關(guān)系R=$\frac{m}{qB}$$\sqrt{（\frac{gL}{{v}_{皮}}）^{2}+{v}_{皮}^{2}}$，最小半徑4.5m．

點(diǎn)評(píng) 考查物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，理解平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道周期與半徑公式，注意畫出正確的運(yùn)動(dòng)圖是解題的關(guān)鍵，最后掌握數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)求得極值的方法．