Question

20．如圖所示，三個質點a、b、c質量分別為m₁、m₂、M，（M＞＞m₁，M＞＞m₂）．a(chǎn)、b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，它們的周期之比T_a：T_b=1：k．（k＞1，為正整數(shù)）從圖示位置開始，在b運動一周的過程中，則（　�。�

• A． a、b距離最近的次數(shù)為k次
• B． a、b距離最近的次數(shù)為k+1次
• C． a、b、c共線的次數(shù)為2k次
• D． a、b、c共線的次數(shù)為2k-2次

Answer 1

分析 質點a、b均在c點的萬有引力的作用下繞c做圓周運動，根據(jù)周期比，每多轉半圈，三質點共線一次，可先求出多轉半圈的時間，與總時間相比，得出三點共線次數(shù)．

解答 解：A、設每隔時間T，a、b相距最近，則（ω_a-ω_b）T=2π，所以T=$\frac{2π}{{ω}_{a}-{ω}_}$=$\frac{2π}{\frac{2π}{{T}_{a}}-\frac{2π}{{T}_}}=\frac{{T}_{a}{T}_}{{T}_-{T}_{a}}$
故b運動一周的過程中，a、b相距最近的次數(shù)為：n=$\frac{{T}_}{T}$=$\frac{{T}_-{T}_{a}}{{T}_{a}}=\frac{k{T}_{a}-{T}_{a}}{{T}_{a}}=k-1$
即a、b距離最近的次數(shù)為k-1次，故AB均錯誤．
C、設每隔時間t，a、b共線一次，則（ω_a-ω_b）t=π，所以t=$\frac{π}{{ω}_{a}-{ω}_}$=$\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{a}}-\frac{2π}{{T}_}}=\frac{{T}_{a}{T}_}{{2（T}_-{T}_{a}）}$；
故b運動一周的過程中，a、b、c共線的次數(shù)為：n=$\frac{{T}_}{t}$=$\frac{{2（T}_-{T}_{a}）}{{T}_{a}}=\frac{2k{T}_{a}-{2T}_{a}}{{T}_{a}}=2k-2$．
故a、b、c共線的次數(shù)為2k-2，故C錯誤，D正確．
故選：D

點評 本題主要考查圓周運動的概念，以及的角速度與周期之間的關系，解這樣的問題，最好畫畫草圖，尋找角度與周期之間的關系．