Question

17．如圖所示，AOB是由某種透明物質(zhì)制成的四分之一圓柱體的橫截面（O為圓心），圓柱體的半徑為r，折射率為$\sqrt{2}$，圓柱體的長度為h．今有一束平行光與擋光板成以45°的入射角射向OA面，這些光線中有一部分不能從圓柱體的AB面上射出，設(shè)凡射到OB面的光線全部被吸收，不考慮OA面的反射，求能從圓柱體AB弧面上射出光線部分的面積．

Answer 1

分析 畫出光路圖，當(dāng)光線在AB弧面上發(fā)生全反射時，就沒有光線從AB弧面射出，根據(jù)臨界角確定出光線在AB弧面上恰好發(fā)生全反射時的入射點，由幾何知識求解能從圓柱體AB弧面上射出光線部分的面積．

解答 解：從O點射入的光線，折射角為r，根據(jù)折射定律有：
 n=$\frac{sini}{sinr}$
解得  r=30°
經(jīng)OA面折射后進入圓柱體的光線均平行，作出光路圖如圖所示．由光路圖可知，入射光線越接近A點，其折射光線在AB弧面上的入射角就越大，越容易發(fā)生全反射．
設(shè)從某位置P點入射的光線，折射到AB弧面上Q點時，入射角等于臨界角C，有 sinC=$\frac{1}{n}$
代入數(shù)據(jù)解得 C=45°
在△PQO中∠α=180°-90°-C-r=15°
所以能射出AB弧面的光線區(qū)域?qū)��?yīng)的圓心角為  β=90°-α-r=45°
在AB弧面上能射出光線的弧長為 l=$\frac{45°}{360°}$×2πr
因而從圓柱體弧面上能射出光線的面積為 S=lh
聯(lián)立解得 S=$\frac{πrh}{4}$
答：能從圓柱體AB弧面上射出光線部分的面積是$\frac{πrh}{4}$．

點評 正確地畫出光路圖是解決本題問題的關(guān)鍵，是折射定律和幾何知識的結(jié)合應(yīng)用．