Question

8．如圖所示，一光滑金屬直角形導(dǎo)軌aob豎直放置，ob邊水平．導(dǎo)軌單位長度的電阻為ρ，電阻可忽略不計的金屬桿cd搭在導(dǎo)軌上，接觸點為M、N．t=0時，MO=NO=L，B為一勻強磁場，方向垂直紙面向外．（磁場范圍足夠大，桿與導(dǎo)軌始終接觸良好，不計接觸電阻）
（1）若使金屬桿cd以速率v₁勻速運動，且速度始終垂直于桿向下，求金屬桿所受到的安培力隨時間變化的表達(dá)式；
（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，已知桿的質(zhì)量為m，重力加速度g，求t時刻外力F的瞬時功率；
（3）若保證金屬桿接觸點M不動，N以速度v₂向右勻速運動，求電路中電流隨時間的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)過t時間，金屬桿沿速度方向的位移x=v₁t，根據(jù)幾何關(guān)系求出導(dǎo)體棒的長度，再根據(jù)E=BLv結(jié)合歐姆定律和安培力公式求解；
（2）根據(jù)P_安=P_F+P_G，再根據(jù)安培力和重力的瞬時功率，從而求出F得瞬時功率．
（3）根據(jù)歐姆定律、電阻定律以及E=BLv求解；

解答 解：（1）經(jīng)過t時間，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢 E=BL_有效v₁，
感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{R}$
安培力 F_安=BIL_有效．
由幾何關(guān)系可知 L_有效=$\sqrt{2}$（L+$\sqrt{2}$v₁t）=$\sqrt{2}$L+2v₁t
導(dǎo)軌接入閉合電路的長度為 2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L_有效=$\sqrt{2}$L_有效．
則 R=$\sqrt{2}$L_有效ρ．
由以上式子可得 F_安=$\frac{{B}^{2}{v}_{1}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$
（2）若使金屬桿cd以速率v₁勻速運動，則P_安=P_F+P_G，
又 P_安=F_安v₁．
且P_G=mgv₁cos45°
解得 P_F=$\frac{{B}^{2}{v}_{1}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$-$\frac{\sqrt{2}mg{v}_{1}}{2}$
（3）N以速度v₂向右勻速運動，設(shè)∠OMN為θ．
則 I′=$\frac{E′}{R}$
E′=BL′$\overline{v}$
L′=$\frac{L}{cosθ}$
$\overline{v}$=$\frac{0+{v}_{⊥}}{2}$
v_⊥=v₂cosθ
R=ρ（2L+v₂t）
解得：I′=$\frac{BL{v}_{2}}{2ρ（2L+{v}_{2}t）}$
答：
（1）金屬桿所受到的安培力隨時間變化的表達(dá)式為F_安=$\frac{{B}^{2}{v}_{1}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$；
（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，已知桿的質(zhì)量為m，重力加速度g，t時刻外力F的瞬時功率是$\frac{{B}^{2}{v}_{1}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$-$\frac{\sqrt{2}mg{v}_{1}}{2}$；
（3）電路中電流隨時間的表達(dá)式為I′=$\frac{BL{v}_{2}}{2ρ（2L+{v}_{2}t）}$．

點評 要求同學(xué)們能正確分析電路結(jié)構(gòu)，清楚導(dǎo)體棒有效長度的物理意義，運用電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、電阻定律、安培力公式結(jié)合進行研究．